30 Ignaz Heger. 



§• -• 

 Nach der Entwicklung dieser drei Hilfssätze können wir zum Beweise des im Eingange 

 aufgestellten Satzes schreiten, der folgendermassen lautet: Wenn ein System von zwei 

 Gleichungen mit beliebig vielen Ünbekann ten in allen D et erminanten, die aus 

 den Cocfficienten gebildet werden, nämlich in: 



{ah) 



(75) 



{ae) , {he) , (ce) , {de) 



nur solche Fact o ren gemeinschaftlich aufweist, die auch in den Grössen: 



(76) {ka) , {kh) , {kc) , ikd) , {ke) , {kg) 



erscheinen ; so kann man demselben stets durch ganze Zahlw erthe sämmtlicher 

 Unbekannten Genüge leisten. 



Der Beweis, den wir zu führen beabsichtigen, ist ein Inductionsbeweis. Wir werden 

 nämlich zeigen, dass unter den angegebenen Umständen das vorgelegte System von zwei 

 Gleichungen mit m Unbekannten sich zerlegen lasse in eine gewöhnliche unbestimmte Glei- 

 chung mit nur zwei Unbekannten, welche immer ganze Auflösungen besitzt, und in ein System 

 von zwei anderen Gleichungen mit nur m — 1 Unbekannten, bei welchem die aus den Cocffi- 

 cienten gebildete Determinantengruppe keinen von Eins verschiedenen Factor besitzt. Diese 

 gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten und das neue System von zwei 

 Gleichungen sind dem ursprünglichen Systeme äquivalent. 



Diese Transformation lässt sich für jede beliebige Anzahl m von Unbekannten ausführen; 

 selbst für ??j=:3, nur mit dem einzigen Unterschiede, dass in diesem Falle das neue System 

 mit m — -1 Unbekannten kein unbestimmtes mehr ist, sondern ein bestimmtes, dem folglich nur 

 eine einzige Determinante entspricht , welche aber gleich Eins Avird, so zwar dass die Auflös- 

 lichkeit derselben in ganzen Zahlen ausser Zweifel ist. 



Durch eine m — 2 malige Anwendung dieses Verfahrens wird man das ursprüngliche 

 System von zwei Gleichungen mit m Unbekannten verwandeln in m — 2 gewöhnliche unbe- 

 stimmte Gleichungen mit je zwei Unbekannten und in ein System von zwei bestimmten Glei- 

 chungen. Alle diese Gleichungen sind in ganzen Zahlen auflöslich, folglich auch das ilinen 

 gleichgeltende System von zwei unbestimmten Gleichungen, von dem man ausging. 



Um die nachfolgenden Untersuchungen nicht unnützerweise zu compliciren, wollen wir 

 von der Voraussetzung ausgehen, dass in den Determinanten (75) kein von Eins verschiedener 

 Factor gemeinschaftlich vorkomme , wodurch die Allgemeinheit der Untersuchungen nicht im 

 mindesten beeinträchtigt wird, da man sich den in den Grössen (75) und (76) gemeinschaftlich 

 vorkommenden Factor stets durch die im vorhergehenden Paragraphe angegebene Transfor- 

 mation weggeschafft denken kann. 



Unter dieser Voraussetzung wollen wir nun die ursprünglich gegebenen Gleichungen 

 vermittelst gewisser Multiplicatoren ^j , L , ji^ , jx., in zAvei neue Gleichungen (29) und (30) 

 transformircn, so zwar, dass die eine derselben, etwa die (29) von einer Unbekannten, z. -B. 



