über die Auflösung eines Systemes vo7i mehreren anlicstlniDitcii < Ih'ii-Iinnfieit etc. 31 



dor IC betreit ist. und die Uetermiiuinteii der neuen Gleiehungen, welche von 7 frei sind. 

 nUmlieli : 



(«7/) 

 (77) [a c) , (b'c) 



(a'd) , (i>d) , [c (!') , 



{d e') , (1/ e') , (c e') , [d e) 



keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlicli besitzen. 



Der Nutzen einer solchen Transformation ist unschwer einzusehen. In der That sind 

 dann die transformirten Gleichungen folgende : 



ßj' X -{- bi 1/ -\- Cj^ z -\- . . . . -\- dl u -\- e,' v = /c,' 



ajx -f bji/ + c/s +.... + <f./ «6 + e,,' r -f g,' w --:=k.J. 



Durch Einführen einer neuen Hilfsgrösse lo' vermittelst der Substitution: 



aj X -\- b.,' y -\- c.,' z -^ . . . . -\- dj u + ej r = w' 



verwandelt sich die zweite Gleichung in: 



io' -f g.> w = kj 



Diese Gleichung ist eine unbestimmte mit nur zwei Unbekannten : lo und 10'. Gesetzt, 

 man hätte sie in ganzen Zahlen aufgelöst, was, wie später gezeigt werden soll, immer 

 möglich ist, so kann man den gefundenen Werth von to' in die zweite der beiden folgenden 

 Gleichungen : 



a/ a; -f 6/ ?/ + c/ ,s 4- . . . . + f// u + e/ r = l\ 

 aj X + bjg -\- cj 2 + .... + fZ.' zf + e.,' v = w' 



setzen und hat nun zur Bestimmung der übrigen m — 1 Unbekannten eben diese zwei Gleichun- 

 gen mit lauter ganzen Coefiieienten und Constanten, bei welchen dieDeterminantengruppe keinen 

 gemeinschaftlichen Factor aufweist und folglich derselben Transformation abermals unter- 

 worfen werden kann. 



Bei diesem Probleme handelt es sich zunächst um die Bestimmung der Multiplicatoren 

 /i , ;.. , /ii , lu. Da die neuen Determinanten der ursprünglichen proportional sind und nament- 

 lich durch Multiplication mit der Determinante (;./i) entstehen; so muss offenbar {X ß) gleich- 

 kommen dem reciproken Werthe des grössten gemeinschaftlichen Factors aller von g freien 

 Determinanten. 



[ab) 



(ac) , (bc) 



[udj , [bc) , {cd) , 



(ac) , (be) , (ce) , (de) 



des ursjH-ünglichen Systemes. Diesen grössten gemeinschaftlichen Factor wollen wir, emer 

 schon früher gebrauchten Bezeichnung gemäss, mit ^^ andeuten. Ferner ist noch eine zweite 



