34 Ignaz Heger. 



ö/ 1 ^1 ) <^i 5 • • ^A' ) (^i 5 ^»-'i' besitzen könne, so gilt dies um so mehr von dem Systeme (88). 

 Nehmen wir jetzt an, « , y5 , ^ , . . . o , £ , x seien der Bedingung: 



(90) {a,g.^ a + {hg;) ß + (c,^,) T + • • • • -^ {d,g.;) d + (e, r^,) £ + (^^572) ^ =S^, 



entsprechend gewählt, wo (p,^ der schon früher gewählten Bezeichnung gemäss den grössten 

 gemeinschaftlichen Factor von g^ und g., und nach §. 4 auch aller mit g verknüpften Deter- 

 minanten : 



{a,g.,) , {h^g.^ , {c,g.^ , (c^i^'.) , {e,g-^ 



darstellt, und auch in {k^g,) als Factor erscheint. Eine solche Wahl von «,y9,^,...<?,£,x 

 ist immer möglich, ohne diesen Grössen andere, als ganze Werthe zu ertheilen, indem (p^ der 

 grösste gemeinschaftliche Factor der in dieser unbestimmten Gleichung des ersten Grades 

 vorkommenden Coefficienten ist, und so ist es klar, dass einerseits nur eine einzige Grösse ihrer 

 Willkürlichkeit beraubt wird, andererseits aber, dass in denWerthen von a , y? , ^ ,...(?,£ , 

 X kein von Eins verschiedener Factor gemeinschaftlich vorkommen könne. Es geht hiedurch 

 die Gleichung (89) über in: 



(91) a;a + h;ß^c;r^----^-d;d^e;s + k;x=± ^''" 



V'j9-i 



und es unterliegt nun wohl keiner Schwierigkeit mehr, alsogleich auch einzusehen, dass diese 

 Gleichung nur dann in ganzen Zahlen nach 0/ , l\ , e/ , . . . cZ/ , e/ , h^ aufgelöst werden könne, 

 wenn — ^ eine ganze Zahl ist, also: 



4'9 



(92) g: 



<P.j: 



gesetzt wird, unter ^ eine willkürliche ganze Zahl verstanden. Also auch nur unter dieser 

 Bedingung ist es möglich, keineswegs aber nothwendig, dass auch das System (88) in ganzen 

 Zahlen aufgelöst werden kann. Um nun Gewissheit zu erhalten, ob für beliebige oder, 

 nur für beschränkte Werthe von C das System (88) in ganzen Zahlen aufgelöst werden 

 könne, substituiren wdr den gefundenen Werth von g! in die Gleichungen (88) und finden] 

 sonach : 



(9o) ff, = ± -— , 61 = ± , C, = ± — , c/i = ± 



Da nun ^^ als Factor in allen Grössen: («i^o) , (&i f/o) ) i'^iff'!) ••• i^i g-i) > (^192) > (k^ g.;^ 

 erscheint, so ist die hier angezeigte Division wirklich ausführbar und wir gelangen sonach 

 zur Überzeugung, dass wirklich und für völlig willkürliche Werthe von C die Grössen a/ , 

 6/ , c/ , . . . dt , e/ , k; ganze Zahl werthe erhalten. Die Wahl des Werthes von g^' in (92) 

 ist demnach hinreichend, aber auch erforderlich, um a/ , 6/ , c/ , ... fZ/ , e/ , ^\' ganz aus- 

 fallen zu machen. 



Es erübrigt aber auch noch, zu untersuchen, ob auch aj , 6.,' , c.,' . . . . d.,' , 63' ganze Werthe 

 erlangen können und für welche Werthe von .f". 



