tJber die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 35 



Zu diesem Zwecke ist es aber notliwendig, auch aus dem Systeme (82) die Grössen //, . 

 /jo herauszuschaffen und dafür ^2' einzuführen. Dies lässt sich auf verscliiedene Weise bewerk- 

 stelligen, so z. B. könnte man aus der Gleichung (80) und je zwei Gleichungen des Systemes 

 (82) /ij und/x, eliminiren und solchergestalt alsogleich zu Gleichungen gelangen, in denen /i, und 

 /i, durch ^/o' ersetzt ist. Es besteht aber noch ein viel kürzerer Weg, Avir wollen diesem hier 

 einschlagen. 



Aus dem in §. 5 entwickelten Satze folgt nämlich, dass hier, wo die Multiplicatoren- 

 Determinante (kij) den Werth — besitzt, zwischen den Determinanten des neuen Systemes und 

 jenen des ursprünglichen folgende Eelationen bestehen: 



(«,^-o) = ^„(ffi'i,;) , {a^c,) = (p^{a;c:) , {a,d.^ = (p^{a;di) , («1 c.) = {^, («/ e.,') 



(9i) {h.c.;) = <f.^{h;c.:) , {hd.^ = <p,{h;d:) , (6,a,)=^^(^*;e,') 



(cj f/,) = j£>^ (c/ d.^) , (cj e.) — (p^ (c/ e/) 



und da nun fi^ geradezu der grösste gemeinschaftliche Factor ist, der in allen hier aufgezählten 

 von g und k freien Determinanten des ursprünglichen Systemes erscheint, so werden 

 nothwendig: 



{al 60') 

 (95) 



keinen von Eins verschiedenen Factor mehr gemeinschaftlich besitzen können. Das ist aber 

 so lange unmöglich, als in a/ , 6/ , c/ , cZ/ , e/ ein Factor gemeinschaftlich vorkommt, der von 

 Eins verschieden ist. Wendet man nun einen Blick auf die Werthe (93) ; so zeigt sich alsogleich, 

 dass C der grösste gemeinschaftliche Factor dieser Grössen ist, da 



(«1?2) {^192) i'^lff-i) (<^1?2) («1S2) 



tpp 'Ps 4''j 'Pg 4>} 



keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen ; und man gelangt sonach zur 

 Überzeugung, dass C= + 1, d. h. 



(96) 3.=± — 



zu setzen sei, w^enn 0.,' , 6.,' , c^' , . . . d: , e: ganze Zahlwerthe erhalten sollen. Ob aber eine 

 solche Wahl diesen gew^ünschten Zweck wirklich herbeiführt, oder nicht, ob die gestellte For- 

 derung überhaupt im Bereiche der Möglichkeit liegt, soll die nachfolgende Untersuchung 

 entscheiden. 



Zunächst gehen die Werthe (93) in die folgenden über: 



(97)<=± 



