Über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 37 



a-l {b, g-i) — b: («, .9..) ± A („, h\ = 

 «2' (Ci 5'-.) — Co' (a, ^J ± -^- (0,6-2) = 



( 103) ö..' ((7,^2,) — f^' [aig-2) ± — («1 f^-.) = 



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«2' (ex(/,) " e,' («, (7,) + ^ [a, e,) =0. 

 Es ist beinahe überflüssig, zu bemerken, dass: 



— {a,b.^ , — («,c.,) , —(«.(^2) , —(«1^2 



^9 99 Y9 99 



keine wirklichen Brüche, sondern ganze Zahlen sind, weil nämlich <f,^ in allen von g freien 

 Determinanten, also namentlich auch in : 



•■) 



(a, 6,) , (o, Co) , (a, Jo) , («1 e^) 



als Factor vorkommt. Hier handelt es sich nun zunächst um die Untersuchung, ob dieses 

 System von Gleichungen durch ganze Zahlwerthe der darin erscheinenden Unbekannten «2' 

 6.,' , t'o' . . . f/o' , e./ erfüllt werden könne, und, wenn dies möglich ist, um die Auflösung des- 

 selben in ganzen Zahlen. Wir wollen beide Zwecke, nämlich den Beweis der Auflöslichkeit 

 in ganzen Zahlen sowohl, als auch die wirkliche Auflösung durch ein sehr einfaches Hilfs- 

 mittel bewerkstelligen und zwar auf folgende Weise : Man denke sieli zuvörderst zu diesen 

 Gleichungen (103) noch eine identische Gleichung, nämlich die: 



(104) o,' («1 (/.,) — «2' («, g,) = 



hinzugefügt. Ein solches Hinzufügen einer identischen Gleichung zum Systeme (103) kann 

 nun ofi'enbar keine Veränderung bewirken, da dieselbe keine neue Bedingung für die Unbe- 

 kannten enthält; im Gegentheile für alle möglichen Werthe von cio erfüllt ist, also auch für 

 jene Werthe, welche dem Systeme (103) entsprechen. Dennoch bewirkt man dadurch eine 

 Vergrösserung der Anzahl der Gleichungen um Eins, wovon der Nutzen alsbald wird einge- 

 sehen werden können. Multipliciren wir nun die (104) und die Gleichungen (103) beziehungs- 

 weise mit völlig willkürlichen ganzen Grössen: a , ß ^ y . ... d , £ und addiren sie hierauf, 

 so erhält man eine einzige Gleichung: 



a.:[[a,g.^a -)- {b,g.^i3+ {c,g,)r -^ • • • • + {d,g.Ad+ {e,g.;)s]~ 



(105) —(01^2) K« + b.:ß -h co'r + — + (J20+ c^s] ± 



+ -^ [(«, 62) ß ^- («. C2) r + • • • • ^ («> ^^2) d + {a, e,) £] = 



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die jedenfalls für alle Werthe von a. , b.^ , c.; , . . . cZ; , e.: erfüllt ist, welche dem Systeme (103) 

 (genüge leisten. Aber auch der umgekehrte Satz gilt: Jede Auflösung der Gleichung (105) 

 leistet auch dem Systeme (103) Genüge, unter der Voraussetzung, dass die Grössen: ß ^y . . . . 

 o , s völlig willkürlich bleiben. In der That, sind Werthe für aj , bj , cV , . . . ci: , ej bekannt, 

 welche die Gleichung erfüllen, und zwar welche Werthe man auch immer den Grössen ß , y , 



