38 Ignaz Heger. 



d , c ertheilt; so geschieht dies auch offenbar für eine Eeihe von speciellen Werthen dieser 

 Grössen, namentlich für: 



ß von Null verschieden und ^ :^. .= o = c = 





^- .. . . „ ß=r=..=d=o 



mit andern Worten sie erfüllen auch die einzelnen Gleichungen des Systemes (103) w. z. b.w. 



Es ist dies selbst dann noch der Fall, wenn man für die Grössen «,^,^, ...<?,£ 

 eine Bedingungsgleichung aufstellt, denn dadurch beraubt man nur eine einzige Grösse ihrer 

 Willkürlichkeit. Die Grössen ß , j- , . . . d , s sind noch so, wie früher aller möglichen 

 Werthe fähig und nur a verliert seine Willkürlichkeit. Diese Bediugungsgleichung kann man 

 noch überdies so wählen, dass sie durch ganze Zahlwerthe der darin erscheinenden Grössen: 

 a , ß , y , . . . o , s erfüllt werden kann. Aus dem bisher Gesagten geht deutlieh hervor, 

 dass man anstatt des Systemes (103) ebenso gut auch die einzige Gleichung (105) vornehmen 

 könne, wenn man für die darin enthaltenen Grössen a , ß , j- , . . . d , s nicht mehr als 

 eine einzige Bedingungsgleichung aufstellt'. Man wird aus dieser Gleichung (105) gleich- 

 falls die Frage zu beantworten im Stande sein, ob das System (103) durch ganze Werthe von 

 a.,' , b.2 , c./ , . . . fZä' , ej erfüllt werden könne , oder nicht, und auch die Genüge leistenden 

 Werthe abzuleiten vermögen. 



Wir wählen als Bedingungsgleichung für diö Grössen a,y9,^, ...<?,£ die folgende: 



(106) (a,g.;)a+ {b,g.;)ß + ic,g,)r + .... + id,g.;)d+ (e.g.^ s = <p,^ . 



Sie ist stets in ganzen Zahlen auflösbar, da die im zweiten Theile erscheinende Constante 

 ^j, geradezu der grösste gemeinschaftliche Divisor aller Coefficienten dieser imbestimmten 

 Gleichung vorstellt und demnach die bekannte Bedingung für die Auflöslichkeit in ganzen 

 Zahlen erfüllt ist. Nun unterliegt es keiner Schwierigkeit mehr, alsogleich einzusehen, dass 

 die Gleichung (105) durch ganze Werthe von aJ , b.^' , c.,' , . . . dj , e.^ erfüllt werden könne. 

 Sie erhält nämlich, wenn man den Coefficienten von a,' durch seinen in (106) ersichtlichen 

 Werth ^y ersetzt und gleichzeitig dieselbe durch ^^ dividirt, folgende Gestalt: 



(107) a.^^-'^[a.:a^b.:ß + c^y ^ . . . . ^ d.! d -i <c] ± 

 ± -^ \{a, b.^ß + (a,c,) y + ....+ (a, rZ,) r? + («, e.^ c] = 



oder: 



(108) ^-'•^rAa.:-^^\ßb.: + yc: + •••• + 'id: + ^e.:] ± 



■- V'j J Vg 



± -^ [l«. ^2) ß -f («I c,) ^ + . . . . + {a, d) d + (flj e,) £] = 0. 



Diese Gleichung ist nun jedenfalls in ganzen Zahlen auflöslich. In der That, bezeichnen 

 wir den grössten gemeinschaftlichen Divisor von: ß , y , ■ • . (j , s mit ^, so ist ^^^^0 der 

 grösste gemeinschaftliche Divisor der Coefficienten der Unbekannten b.! , c./ . . . . fZ._,' , e^'. Die 

 beiden Grössen: 



