über die Auflösung eines Sysiemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 39 



(«1.92) 1 . . 1 {«la-i) 



[1 («1.92 1 1 



1 ; « Uiul 



4>3 ' 







V:> 



können nur Factoren von 0. keineswegs aber ^^^ als gemeinschaftlichen Factor besitzen. 

 Da mm aber 1) jedonfalls ein Factor der Constante 



-^ [ («1 i-.) /5 + («1 c.) r + • • • • + («: ^4) « + («I e,) £] 



ist, so kann der Fall niemals eintreten , dass die Coefficienten der Unbekannten in der unbe- 

 stimmten Gleichung (108) einen Factor gemeinschaftlich besitzen, der in der Constante fehlt. 

 Es ist demnach die Gleichung (108) und somit auch das System (103) stets in ganzen Zahlen 

 autlöslich. Di-e wirkliche Auflösung desselben unterliegt gleichfalls keiner Schwierigkeit. 

 Suchen wir zuvörderst eine specielle Auflösung. Hiezu eignet sich insbesondere die Gleichung 

 (108). Beim Aufsuchen einer speciellen Auflösung kann man über eine Unbekannte willkür- 

 licli verfügen, oder richtiger gesprochen, man kann eine Bedingungsgleichung nach Willkür 

 hinzufügen, die nur ganze Werthe nicbt unmögKch machen darf. Die Wahl dieser Bedin- 

 gungsgleichung liegt beim Anblicke der (107) vor Augen. Sie ist am zweckmässigsten 

 folgende : 



(109) a: a -K b.:ß -f- c.^y + f cZ; (? + e,' £= . 



Diese, mit der (107) verknüpft, liefert: 



(110) ct.: = + — Ua, h.^ ß + («1 Co) r + + («1 f?2) ö + («1 e.,)£\. 



Die Werthe der früheren Unbekannten b.^ , Cj' , . . . d.: , e,' ergeben sich nun ohne alle 

 Schwierigkeit unmittelbar aus den Gleichungen (103) wenn man in denselben a.^ durch den eben 

 gefundenen speciellen Werth ersetzt. So z. B. erhält man bJ aus der ersten der Gleichungen 

 (103): 



(111) f,^' = ^^^a.:ib.g.)±^(aM- 



In dieser Gleichung nun hat man < durch seinen Werth (110) zu ersetzen und thut gut, 

 ^„ durch das in (106) ersichtliche Polynom auszudrücken. Man erhält so: 



03' (big-i) ± -— («i^ä) = 



_ _ j_ j + ia,b.;){b,g.^ß+ {a,c.^{b,g,)r^....+ {a,d.;){b,g.^ d + {a,e.;){b,g.;) e 



~ "^ ?, \—{a,b.;) {a,g.;)a — (a,b.^ (b,g.;) ß—(a,b.;)(c,g.;)r—--—(a,b.^ {d,g.)ö—{a,b.;}{e,g.^s 



Mit Rücksicht nun auf die bekannten identischen Eelationen : 



(«1 c.) (^1^2) — («1 ^2) (c, g-^ = («I g.) {h e,) 



(ßid) (61^0) — {a,b.^ {d,g.) = {a,g,^ {b,d,) 



(«1 62) (61^2) — («: ^2) (ci^'ä) = (015^2) (^1 62) 

 lassen sich Eeductionen vornehmen und man erhält : 



«; (^1^2) + -^(«1^2)= + ^[—{a,b.;)a + (b,c.^r + ■■■■ + {b^d.^0 + [^^'^2) s\ 



