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und folglich: 



(113) 



Ignaz Hege. 



bj = + — [ — («1 h)a -^ (6j c,) ^ + 



^9 



-^(b,d,)d + (b,e.^s]. 



Auf vollkommen ähnliche Weise ergeben sich die Werthe der übrigen Grössen aus den 

 anderen Gleichungen des Systemes (103). Im Folgenden sind die Werthe der Grössen «./ , &.,', 

 cj , . . . dj , e.,' zusammengestellt: 



a.,' = + — [ («, 6.) ß + (a, c.^r + -r («I '^2) (> + («1 «ä) =] 



b^ —+ — [— («1^2) ^^- + (pi^dr + + (^1 ^4) ^ -r (^1 e.2) £] 



(114) 



; ^ + — [_ (a^c) « — (6, c,)y9 + + (ci cZ,) o^ + (c, a,) e] 



'Po 



d; ^- + — [— (o, d.^ «— (6, d) ;5 — — (c, f4) ;- + {d, e,) e] 



+ — [ — («1 e.,) a — (61 ßo) y3 — — (cj 63) ;- — [d^ e,,) o^]. 



e.. 



?"? 



Alle diese Werthe sind ganze Zahlen, weil die hier angezeigte Division durch ^„ sich 

 wirkKch durchführen lässt. Sie stellen eine speeielle Auflösung des Systemes (103) dar. Aber 

 auch die complete allgemeine Auflösung in ganzen Zahlen sind wir im Stande abzuleiten. Um 

 dieselbe zu bilden, hat man zu den eben gefundenen speciellen Werthen gewisse Zusätze hin- 

 zuzufügen, die mit einer willkürlichen Grösse ^ multiplicirt sind. Diese Zusätze sind nämlich 

 die allgemeine Auflösung eines anderen Systemes von Gleichungen, welches aus dem (103) 

 hervoi'geht, wenn man alle darin enthaltenen constanten Glieder durch Nullen ersetzt, nämlich 

 des nachfolgenden : 



a-l (fti^'o) — b.2 {a^Si) = 



(115) 



a^' {dig.2) — d.^' {ttig.^ = 



<(ei5'2) — e2'(«i5'2) = 0- 

 Der unmittelbare Anblick dieser Gleichungen zeigt, dass die Grössen: 



Lto , [^2 1 ^'2 * 2 ? 2 



proportional sind den anderen: 



(116) {a^g.^ , {b,g.^ , (Cj^r.,) , {d,g.^ , (e,g,): 



der numerisch kleinste ganze und von Null verschiedene Werth von a.,' und mit ihm auch die 

 ganzen Werthe der übrigen Grössen bj , c./ , . . d.,' , c.> , werden daher erhalten, wenn man 

 die Grössen (116) durch ihren grössten gemeinschaftlichen Divisor ^^ theilt. Man erhält 

 demnach : 



(«1 ff 2) 



(1>1 0-1) (g< ff-l) 



('^1 92) 



(«i 9-2) 



als die gesuchten Werthe. Dieselben sind nun mit einer willkürlichen ganzen Grösse ^ zu 

 multipliriren und bilden dann die Zusätze, welche bezielningsweise zu den speciellen Werthen 



