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Aus ihnen folgt mit Rücksielit auf die bestehende Relation (106): 



Ml = + — la-. a. J- h,ß ArC'-T^ + c?2<? + e-^l + ~- ^ 



(121) ? r 



Hiemitist also das vorliegende Problem erledigt. Die liier gewonnenen Werthe (117), (121) 

 sind allgemeiner, als die früher erwähnten (114), indem in (117) und (121) eine willkürliche 

 ganze Zahl c erscheint. Für ?=0 gehen beiderlei Resultate in einander über. Eine kurze 

 Überlegung zeigt auch, dass die hier gewonnenen allgemeineren Resultate keinerlei Vorzug 

 verdienen vor den früheren speciellen, denn im Grunde gehen die allgemeinen Werthe (117) 

 dadurch hervor, dass man die Grössen a/ , hl , c/ , . . . (7/ , e/, deren Werthe in (97) ersicht- 

 lich sind, mit ^ multiplicirt und zu den speciellen Werthen (114) addirt, mit anderen Worten, 

 indem man die Gleichung : 



a/ X — hly -L c/ s -f . . . . ^ d^ u -f e/ v = k^ 



mit einer beliebigen ganzen Zahl c multiplicirt und zur : 



«a' X -\- hj ij -{- cj z -\- . . . . -^ d.2 u -f- e.,' v -f gj ic = ^'o' 



addirt. Es ist auch leicht ersichtlich, dass damit kein wesentlicher Vortheil verknüpft sei, und 

 man daher immer vorziehen wird, |==0 zu setzen. 



Bevor wir unsere Aufmerksamkeit einem anderen Gegenstaude zuwenden, wollen wir 

 noch die gewonnenen Resultate einer näheren Betrachtung würdigen. In den hier erhaltenen 

 Formeln (117) und (121) erscheint nämlich nur eine einzige willkürliche Grösse |, in den 

 übrigen (97) und (98) aber gar keine. Dies dürfte wohl bei vielen Lesern einen Zweifel erregen, 

 ob denn doch die gewonnene Auflösung des Systemes (78) , (79) , (80) , (81) , (82) eine voll- 

 ständige und ganz allgemeine sei, da doch, wie schon Anfangs bemerkt wurde, die Anzahl 

 der Unbekannten 2to -f 4 jene der Gleichungen 2w?- + 2 um zwei übersteigt. Es ist demnach 

 hier eine willkürliclie Gi'össe abhanden gekommen. Diese Grösse ist eben C in den Glei- 

 chungen (93). So lange nämlich nur die Gleichungen (78) , (79) , (80) , (81) berücksichtigt 

 werden nebst der Bedingung , dass «/ , 6/ , c/ , . . . f?/ , e/ ganz sein sollen , während die 

 Gleichungen (82) und mit ihnen auch die Grössen a.! , h! , cj , . . dj , e.^ ausser dem Bereiche 

 der Untersuchung bleiben, sind in Wirklichkeit noch immer zwei willkürliche Grössen vor- 

 handen, nämlich C und eine der zwei Grössen /j„ ju. Dies ist in den Gleichungen (92), (93), (87) 

 zu sehen, welche eben die allgemeine Auflösung der aufgezählten Gleichungen darstellen. Wie 

 nun aber auch das System (82) hinzutritt, zeigt sich, dass ganze Werthe von clI , bj , Co , . ■ ■ 

 do , e.,' nur dann möglicli sind , wenn C^ ± 1 gesetzt wird und hier liegt der Grund des 

 Verschwindens einer der beiden willkürlichen Grössen, die im A'^oraus vermuthet wurden. 

 Die erfolgt aber lediglich nur in Folge der nicht linearen Form der Gleichung (78). Bei nicht 

 linearen unbestimmten Gleichungen ereignet es sich sehr häufig, dass durch die Bedingung 

 der Auflösung in ganzen Zahlen gewisse Unbekannte einen vollkommen bestimmten Werth 

 erlangen. Das einfachste Beispiel der Art ist die unbestimmte Gleichung xy = l, welche nur 

 zwei Auflösungen in ganzen Zahlen besitzt: a;=-fl ,?/=4-l und x=^ — 1 , y = — 1- Bei 

 linearen Gleichungen kann jedoch dies nie stattfinden. 



Hier folgen die gefundenen Werthe der Multiplicatoren /j , l^ , /x, , /u und der in den 

 transformirten Gleichungen erscheinenden Coefficienten und Gonstanten. In denselben, ist 



