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Ignaz Heger. 



§.9. 

 Mit der eben auseinandergesetzten Transformation der ursprünglichen Gleichungen: 



(125) «jX -f b^y -^ c^z ^ . . . . ^ d^it -\- e^v -^ g^w ^ä;, 



a^x -)- b^y -j- CoS + . . . . + dl^u -\- e^v -j- g.-,w^k^ 



in zwei andere : 



(126) a/x-f 6/?/ + Ci'2 + .... + c?,'m + e/?; =Ä;,' 

 a^x + Kly -j- Cg's -|- . . . . -l c?,'« Ar e^v -^ g^w^^h^ 



ist der Weg zur Beurtheilung, ob ganze Auflösungen bestehen, oder nicht, bereits angebahnt. 

 Die erste der beiden transformirten Gleichungen ist von der Unbekannten lo befreit 

 und enthält lauter Coefficienten und eine Constante mit ganzen Zahlwerthen, die in (122) 

 ersichtlich sind; nur die zweite Gleichung der (126) enthält noch die Unbekannte w in sich. 

 Ihre Coefficienten «,' , 6,' , c^', .... dl , e/ besitzen die in (123) ersichtlichen ganzen Werthe 

 und nur gj und kj sind nothwendig gebrochene Zahlen. Führt man nun vermittelst der Sub- 

 stitution : 



(127) «2'^+ h'y -r (^2'^+ . . . . + d.^' u + ej V = w' 



eine Hilfsgrösse w' , gewissermassen eine fernere Unbekannte ein, so verwandelt sich die 

 zweite der Gleichungen (126) in: 



w' + g.2 10 = k.^ 

 oder mit Rücksicht auf die in (123) aufgestellten Werthe fäv g^ und k.,' in: 



(128) <p,;w'~(p^io^{kyai)a + {k,b.;]ß -J- {k,c.,)Y {k,d.^d^ {Ke.^s. 



Zu dieser Gleichung hat man noch die zwei anderen: 



(129) a/ X -f b^y + c/ 2; +.... + r// u + e/ v = k^ 



aj X -r- bo y -^ C.2 z -\- . . . . + d^ u + e.,' v := w' 



hinzuzufügen. Die drei Gleichungen (128), (129) sind nun dem ursprünglichen Systeme (125) 

 vollkommen äquivalent. Die erste derselben (128) enthält nur zwei Unbekannte to' und w, die 

 beiden anderen (129) sind ein System von zwei unbestimmten Gleichungen, welches ähnlich, 

 wie das ursprünglich gegebene (125) lauter ganze Coefficienten und Coustanten besitzt, vor- 

 ausgesetzt, dass w' ganz ist, und deren Detei-minantengruppe keinen von Eins verschiedenen 

 gemeinschaftlichen Factor enthält; aber sie enthalten um eine Unbekannte, die lo nämlich, 

 weniger, weil wir hier annehmen, dass man zuvörderst mit der Auflösung der (128) in gan- 

 zen Zahlen beginne und den gefundenen Werth von %o' in die zweite der Gleichungen (129) 

 setze. 



Die Gleichung (128), für sich allein betrachtet, kann in ganzen Zahlen aufgelöst werden, 

 denn sie enthält nur die zwei Unbekannten ^o und io und die Coefficienten derselben : (p^ und 

 <pg sind nothwendig relative Primzahlen, da vorausgesetzt wurde, dass die Determinanten des 

 Systemes (125) keinen gemeinschaftlichen Factor besitzen. Man kann daher irgend eine 

 ganze Auflösung derselben , in der bekannten Weise gesucht , und den gefundenen ganzen 

 Werth von w' in die zweite der Gleichungen (129) gesetzt denken. 



