über die Aufiösimg eines Systemes rou mehreren rnihestimmten GleicJmngen etc. 40 



Vermittelst dos hier angogebenen Vcrfalirens kann man daher das urspriingliehe System 

 von zwei Gleichungen mit ni Unbekannten, dessen Deternunantcugriippe keinen gemein- 

 schaftliclien Factor aufweist, transformiren in ein gleiehgeltendes System von drei Gleichun- 

 gen, nämlich in eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten to und w' 

 und in ein System von zwei neuen Gleichungen mit nur m — 1 Unbekannten. Die unbestimmte 

 Gleichung mit den zwei Unbekannten w und w' ist in ganzen Zahlen auflöslich und das neue 

 System von zwei Gleichungen besitzt in der Determinantengruppe gleichfalls keinen gemein- 

 schaftlichen Factor und verstattet daher eine ähnliche Transformation, wie das ursprüngliche 

 System. 



§• 10. 



Das hier erörterte Verfahren lässt sich mehrmals wiederholen und wird die Anzahl der 

 Unbekannten von m der Reihe nach auf die kleineren: m — 1 , m — 2 , m — 3 , . . . bringen. Für 

 jede aus dem Systeme von zwei Gleichungen herausgeschaffte Unbekannte erhält man eine 

 unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten. Man wird demnach zuletzt zu einem Systeme 

 von zwei Gleichungen gelangen, welches nur noch zwei Unbekannte, etwa x, y enthält und 

 zur Bestimmung derselben vollkommen hinreicht. Ausser diesen zwei Gleichungen hat man 

 aber dann noch eine Reihe von gewöhnlichen unbestimmten Gleichungen mit je zwei Unbe- 

 kannten, deren Anzahl gleich m — 2 ist, die und zur Bestimmung der übrigen Unbekannten 

 s ,..«,?:>, ;o dienlich sind. 



Es ist nicht schwer, sich diesen weiteren Gang der Rechnung zu vergegenwärtigen. Zu- 

 nächst lässt sich dieses Verfahren auf die beiden Gleichungen (129) anwenden. Die hier gel- 

 tenden Multiplicatoren sind : 



x; ^e,' , ^' = — e/ 



(130) yü/ = — [ ai ry! ^ b.^ ß' + < T + + ^^2 '^l 



/ij = — [ — a/ a — 6i'/9' — c/;-' — .... — c^a' ü'] 

 wobei a , jS' , f , . . . J ganze Zahlen bedeuten, welche die Relationen : 



(131) «e,')«' -f- {b;t.:)ß' + (c;e;)r' + •■•• + (d,'t:)d' = i 



zu erfüllen haben. Diese Bedingungsgleichung kann noch in einer anderen Form geschrieben 

 werden, denn die Determinanten des Systemes (129) sind jenen des ursprünglichen propor- 

 tional. Man hat namentlich: 



Ke.;)=-~f^ : (^^e,)=— — - , (c,e,) = --— '•••• (^^^e,)_-— - 



99 Ve 



(pg 4>e ■ ^ ' <Pg4'e " ' <Py V" 



w^o ^,, (f)^ den grössten gemeinschaftlichen Factor aller von g freien und mit e verknüpften 

 Determinanten des ursprünglichen Systemes bedeutet. Hiedurch geht die (131) über in: 



{a,e,)a: ^ [b.e.^ß' + (c^e-^f + ■■■■ + {d,e.^ o = — %'P . 



Vermittelst dieser Multiplicatoren (13Ü) gehen zunächst zwei neue Gleichungen hervor, die 

 den beiden (129) vollkommen äquivalent sind, sich von ihnen aber dadurch unterscheiden. 



