46 Ignaz Heger. 



dass die erste derselben von der Unbekannten v gänzlich befreit erscheint, die zweite hin- 

 gegen diese Unbekannte zwar noch enthält, aber durch die Einführung einer Hilfsgrösse 

 davon befreit werden kann. 



Um aber den Formeln eine Regelmässigkeit zu ertheilen, vroUen wir in den beiden Glei- 

 chungen (129) die Grössen k^ luid tß,' durch w^, und to^, ersetzt denken. Sie sind daher fol- 

 gende : 



(132) a;x-\-hly-\-c;z + . . . . -{- d^u -\- e.; v = w, 



aö X -\- h.2 y ^ c^ z Ar . . . . ^ cL' u + e« v --= w^. 



In der Gleichung (128) aber wollen wir das im zweiten Theile erscheinende Polynom durch 

 einen einzigen Buchstaben ersetzen, nämlich: 



(133) (k, a,) a + {k, 6,) ß + {k, c,) ^ + ■ • ■ • + {K ^2) ^ + [K ^2) £ = ^C 

 setzen, wodurch dieselbe übergeht in: 



(134) <p^w, — ip^io = K,. 

 Man hat hier: 



(135) 'Wj = kl =zk^ 0,2 — ^2 Gfi- 



Führt man nun vermittelst der oberwähnten Multiplicatoren (130) die Transformation 

 der Gleichungen (132) aus, so erhält man zunächst zwei gleichgeltende Gleichungen von der 

 Form : 



(136) a;'x + bl'y + c/'s; + -f d^' lo 



■V 



a-l' X -}- h.{ y -f Cg" s + . . . . + d.!' w = w.{ = — K^ 



und vermittelst der Einführung einer neuen Unbekannten v^ daraus : 



(137) f,v,-<p^v^K, 



(138j a;'x + b;'y -h e/'s + . . . . + d;' u == v, 



tto'x + bi'y + Co" z + .... + dJ'u--= v^. 



Die Gleichung (13 7) ist eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit nur zwei Unbekannten und 

 ist immer in ganzen Zahlen auf löslich, weil f^ und ^^ relative Primzahlen sind. Alle Deter- 

 minanten des ursprünglichen Systemes nämlich , die von g frei sind , besitzen in dem ange- 

 nommenen Falle den grössten gemeinschaftlichen Factor f^. Theilt man sie in zwei Gruppen, 

 deren erste die von e freien, die zweite aber die mit e behafteten Determinanten in sich 

 begreift, so ist der gewählten Bezeichnung gemäss ^,, f^ der grösste gemeinschaftliche Factor 

 der Grössen der ersten Gruppe, ^^ ^^ jener der zweiten, und demnach müssen ^, und ^^ rela- 

 tive Primzahlen sein. Denkt man sich die Gleichung (137) in ganzen Zahlen aufgelöst und 

 einen der gefundenen ganzen Werthe von v., in die zweite der Gleichungen (138) gesetzt; so 

 enthält dieses System nur noch m = 2 Unbekannte : x , y , z , . . . . u und die zugehörige Deter- 

 minautengruppe enthält keinen gemeinschaftlichen Factor, weil (A/ fij) zufolge der angenom- 

 menen Werthe (130) und der Bedingungsgleichung (131) gleich — ist. Nun gehen aber die 

 Determinanten des Systemes (132) aus jenen des Systemes (129) durch Multiplication ,mit 



