48 Ignaz Heger. 



§■ 11. 

 Auch das zuletzt erwähnte System von zwei Gleichungen mit nur noch drei Unbekann- 

 ten : X ,y , 3 nämlich : 



welches das Ergebniss einer {m — 3) maligen Transformation ist, kann demselben Ver- 

 fahren unterworfen werden. 



Bezeichnen wir nämlich mit <p^ den grössten gemeinschaftlichen Factor von Cj '^"'^^' und 

 c.2^'"~^\ also auch von («i'"'"^' h^^'"~^^) und (ij '"'~^' Cj'"'"^^) und setzen, um den früheren Bezeich- 

 nungen treu zu bleiben, (ai'""^'' ^i''""^') = {2J^ , so werden die Multip licatoren , der allgemeinen 

 Regel entsprechend, sein: 



wobei «'"'"*' und ß^'"-^'^ ganze Zahlen bedeuten , welche die Relation : 



(143) (a,('"-ä' c./'"-'') «'"'-'^ -f (^>/'"-^' c,'"-^^) /5<™-'> := 1 



zu erfüllen haben, eine unbestimmte Gleichung, deren Coefficienten erwiesenermassen relative 

 Primzahlen sind und die demnach stets durch ganze Zahlen erfüllt werden kann. Vermittelst 

 dieser Multiplicatoren erhält man zunächst, wenn man sich der Bezeichnung: 



(«.C"-') 6./'"-^)) = (p^ 



erinnert : 



Dies sind jene Gleichungen, welche der angenommenen Bezeichnung gemäss mit: 



(144) «/""-ä' X + ll'^'-Uj = s, 



angedeutet werden. Der nächste Schritt besteht nun in der Einführung einer neuen Unbe- 

 kannten Z.2 vermittelst der Substitution : 



«2""--^«+ &./'"-■)?/ = So, 



wodurch die zweite der Gleichungen (144) in zwei zerfällt. Man erhält sonach folgende drei 

 Gleichungen : 



(145) (a/"-^' b.}"^-^^) Z„ — (p^Z = JC == (^•/'"-''' «/"-'') r/"'-'" -f (l-jf™-«) ft^^(m-3)-)^(m-3) 



(146) («/"'-=" «,/'"-^') a; + (6/"'-^^ rV"'-^)) y = (^■/"'-^> «J"'-«)-! 



(147) /5('"-3> a; — «'"'-^^3/ = z.. 



