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über die Auflösung eines Systemes von viehrcren unbestimviten Gleichungen etc. 49 



Die (145) ist eine unbestimmte Gleicliung mit zwei Unbekannten z und .;., uml kann durcli 

 ganze Zalilenwei-tlie erfüllt werden, weil («/"'~'^ h.}"'~^^) = ^^ und <p^ relative Primzahlen sind. 

 Denkt man sic^h eine specielle Auflösung in ganzen Zahlen gesucht und den Werth von s^ in 

 die dritte (147) gesetzt, so liegen nun zwei Gleichungen, nämlich die (146) und (147) zur 

 Bestimmung von x und ^z vor. Diese Gleichung-en sind aber bestimmte und liefern nui- einen 

 einzigen Wertli von x und y. Die diesem Systeme entsprechende Determinante: 



(a ("'-^' c„'"'~'') a'"'"~^' + (b ('"-3) c,/"'-3)-\ o('«-3) 



ist zufolge der Relation (143) gleich Eins und sohin sind die aus den Gleichungen (146) und 

 (147) gezogenen Werthe a;, y nothwendig ganze Zahlen. 



Durch eine m — 2 malige Wiederholung der angegebenen Transformation gelangt man 

 sohin von dem ursprünglich gegebenen Systeme: 



a^x + b^y + 0,2-1- + f^i« + ^i^ + 5^1^^ = \ 



a^x -\- hjj + CoS -1- + d^u -\- e^v -\- g.,w =: k, 



zu m — 2 unbestimmten Gleichungen mit je zwei Unbekannten und zu einem Systeme von zwei 

 bestimmten Gleichungen , dessen Determinante gleich Eins ist. Alle diese Gleichungen lassen 

 sich durch ganze Zahlwerthe der darin erscheinenden Unbekannten: x,y,z,...u,v,w und 

 Hilfsunbekannten x.,. . . . ti, , t'o , lo., erfüllen, wenn in der Determinantengruppe: 



(«1^2) 



(«iCa) , (62*^2) 



(«1.^2) , {b.g.^. .. . (e,g,) 



kein gemeinschaftlicher Factor erscheint und somit ist also dargethan, dass unter dieser Bedin- 

 gung auch das ursprüngliche System für ganze Werthe der Unbekannten erfüllt werden 



könne, wie z. b. w. 



§■ 12. 



Hier liegt die Frage nahe , ob ganze Auflösungen nur unter der eben angegebenen Be- 

 dingung vorhanden sind, und wenn nicht, welche die allgemeinste Bedingung für das Beste- 

 hen ganzer Auflösungen sei? Mit der Beantwortung dieser Frage wollen wir uns hier beschäf- 

 tigen. 



Vor allem ist schon, dem in §. 6 gewonnenen Satze zufolge, ersichtlich, dass auch in dem 

 Falle, wo die Determinanten des Systemes einen von Eins verschiedenen Factor gemein- 

 schaftlich besitzen, derselbe aber auch in allen Grössen : 



(Ajjßa) , (k.b.) , (ÄJja.) , [k^d,) , (k.e.;) , (k^g,) 



erscheint, ganze Auflösungen bestehen werden, indem man durch die in §. 6 angegebenen 

 Transformationen das System in ein anderes gleichgeltendes verwandeln kann , dessen Deter- 

 minanten keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen. Dies beweist 

 schon, dass zum Bestehen ganzer Auflösungen das gänzliche Fehlen eines gemeinschaftlichen 

 Factors in den Determinanten keine unerlässliche Bedingung sei. 



Denkschriften Her niathem.-iiaturw. Cl. XIV. Bd. Abhaiull. v. Nithtmirgl. S 



