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Jgnaz Heget 



Es ist sonach die Frage zu beantworten: Unter welcher Bedingung besitzt ein System 

 von zwei Gleichungen ganze Auflösungen, wenn die Determinanten desselben einen von Eins 

 verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen? 



Mit der Beantwortung dieser Frage steht aber die einer anderen im innigsten Zusammen- 

 hange, nämlich der folgenden: Wenn ein System von zwei Gleichungen mit beliebig vielen 

 Unbekannten vorliegt, dessen Determinanten keinen von Eins verschiedenen Factor gemein- 

 schaftlich besitzen und dem somit dem früher Erwiesenen zufolge stets durch ganze Zahl- 

 werthe der Unbekannten Genüge geleistet werden kann, welcher ist der grösste gemeinschaft- 

 liehe Factor, der in einer Gruppe zusammengehöriger Werthe der Unbekannten erscheinen kann? 



Der innige Zusammenhang dieser beiden Fragen wird durch die folgenden Bemerkungen 

 eingesehen werden : 



Denken wir uns ein System von zwei Gleichungen gegeben, dessen Determinanten einen 

 von Eins verschiedenen Factor <p gemeinschaftlich besitzen, so kann man zwar im Allgemeinen 

 durch die in §. G angegebene Transformation die Befreiung der Determinanten von diesem 

 Factor nicht bewerkstelligen, ohne die ganzen Grössen ä;, und k.2 in Brüche zu verwandeln, 

 allein eine Änderung der Veränderliehen führt augenblicklich zu dem gewünschten Ziele. In 

 der That führen wir anstatt der Unbekannten: 



X 



u 



andere ein : 



vermittelst der Substitutionen: 



^" 7 1? , 5 



w 



D , \V 



(148) 



X-- 



y 



1) j 11 ü m 



if V ^ ^ ^ 



SO verwandelt sich zunächst das ursprünglich gegebene System in ein anderes mit den neuen ' 

 Unbekannten ;c , ^ , j , . . . u , D , tu , in welchem zwar die Coefficienten Brüche sind mit dem 

 Nenner ^, aber sich alsogleieh in ganze Zahlen verwandeln lassen, wenn man beide Glei- 

 chungen mit <p multiplicirt. Die solchergestalt hervorgehenden Gleichungen sind : 



ß2PH-^2^ + ^2?)+ •■•• A-d^U^ e-^)} -\- goW = k.,<p. 



(149) 



Sie unterscheiden sich von den ursprünglich vorgelegten ausser den neuen Unbekannten noch 

 in ihren im zweiten Theile erscheinenden Constauten k^ (p und k^ f, welche beide den Factor 

 <f besitzen und können daher der in §. 6 angegebenen Transformation unterworfen werden. 

 Thut man dies, so gelangt man zu den zwei neuen, den beiden (149) völlig gleichgeltenden j 

 Gleichungen : 



(150) «!>• + *!> + f-,' 5 + • • • • -f d; u -f e; D + (// m = k; 



aj ^- -I- 6; t) -I- Ca' 3 + .... -1- dj u + e,' ü -}- gJ W = k.^ 



in welchen alle Coefficienten sowohl, wie die Constanten /j/ , k.,' ganze Zahlwerthe besitzen) 

 und deren Determinanten von jedem gemeinschaftlichen Factor frei sind. Dieses System ist 

 demnach jedenfalls in ganzen Werthen auflöslich; kann aber noch überdies dazu dienen, der] 

 Auflösungen des ursprünglichen Systemes habhaft zu werden. Substituirt man nämlich die 

 gefundenen Werthe von ^ , t) , 3 . . . . u , ü , in , in die Gleichungen (148), so gehen unmittelbar 



