Über die Auflösung eines Systemcs von mehreren unhestimmicn Cloichungen etc. 51 



die correspondireiulen Wcvtlie von ;t , t) , 5 , . . . ii , b , W liorvor, welche dem ursprüng- 

 liclion .Systeme Genüge leisten. Diese Letzteren sind, wie unmittelbar zu ersehen, Brüche mit 

 dem Nenner <f und können nur dann ganze Zahlwerthe erlangen, wenn in der entsprechenden 

 Reihe der Werthe von ;i; , 1} , 3 , . . . u , D , in der Factor ip gemeinschaftlich erscheint und 

 demnach den Kenner <p tilgt. Besteht daher unter all' den unendlich vielen verschiedenen 

 Auflösungen der Gleichungen (149) in ganzen Zahlen keine einzige, bei welcher in den 

 Werthen der Unbekannten ^ , t) , 3 , . . . u , D , ID der Factor (p gemeinschaftlich erscheint, so 

 kann auch keine einzige zu ganzen Werthen aller Unbekannten x ^y ^ z ^ . . .ii ^v ^to führen, 

 und es wird demnach auch unmöglich sein, durch ganze Zahlwerthe den ursprünglichen Glei- 

 chungen Genüge zu leisten. 



Hier ist also unmittelbar der Zusammenhang der beiden oberwähnten Fragen ersichtlich. 



§."l3. 



Stellen wir uns demnach die Frage : Welcher Factor kann bei einer beliebigen ganzen 

 Auflösung eines Systemes von zwei Gleichungen, dessen Determinanten keinen von Eins ver- 

 schiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen! , möglicherweise in den zusammengehörigen 

 Werthen aller Unbekannten : x,y,z,....u,v,io gleichzeitig erscheinen ? 



Vor allem ist aus den beiden Gleichungen unmittelbar ersichtlich, dass jeder Factor, der in 

 irgend einer Reihe von zusammengehörigen und Genüge leistenden Zahlwerthen der Unbekannten 

 X ,y ^ z . . . . . u , V ^ w erscheint, nothwendig in den beiden Constanten ^\ und k^ als Factor 

 vorkommen müsse, indem sie nur dann den im ersten Theile stehenden Polynomen identisch 

 gleich sind. Es können demnach nur jene Factoren in cc , ?/ , s , . . . . m , ?; , w gemeinschaftlich 

 erscheinen, welche gleichzeitig in k^ und k^ enthalten sind. Es lässt sich aber auch umgekehrt 

 zeigen, dass zum mindesten eine specielle Auflösung besteht, welche diesen gleichzeitig in k^ 

 und ^•., erscheinenden grössten gemeinschaftlichen Factor in den Werthen sämmtlicher Unbe- 

 kannten : X ^y ,z ^ . . . u ,v ,10 wirklich besitzt. Dies wollen wir auf folgende Weise darlegen : 



Zuvörderst denken wir uns dieses System durch die in §. 9, 10 gezeigten Transforma- 

 tionen in eine Reihe von Gleichungen verwandelt : 



(151) <PjU^ — <PjU=^K^ 



(152) a/"'-^)x-fV'"--)2/ = 2i 



für die hier erseheinenden Grössen bestehen folgende Gleichungen: 



Mj, = ^•; = k, X, + ^■2 4 , Kw = [hih + ^^2/^2] ff, 

 y, = w; = tc, x; + «5,^2' , K„ = [w, n; + ««^/V] <f. 

 (153) u, — v;—v^x;' + vjj' , K„={v,ii^' ^ v„_ii:']f,i 



= Uy ==:U 



,^"»-'>-f M^V"'"" , A", =[«,/V"'-''-f-Mo/iof"'-'']f<. 



g' 



