52 Ignaz Heger. 



Fassen wir nun zuvörderst die ersten beiden Gleichungen der (153) ins Auge, so zeigt sieh 

 unmittelbar, dass jeder gemeinschaftlich in k^ und Ä;, vorkommende Factor auch in lo er- 

 scheinen vs^ird. Die erste der unbestimmten Gleichungen (151) verstattet aber, da (f^ und (p^ 

 relative Primzahlen sind, ganze Auflösungen, und unter diesen bestehen, wie bekannt, solche, 

 die durch K,, theilbar sind. Es wird .sonach ein Werth von w und w^ bestehen, der den in k^ 

 und ^^ gemeinschaftlich vorkommenden Factor entliält. Dieser Factor erscheint also nunmehr 

 in ^0l und ?ü, und folglich auch in K^, wie in der zweiten (153) zu sehen. Man kann nun in 

 gleicher Weise bei der Auflösung der zweiten unbestimmten Gleichung in (151) dafür Sorge 

 tragen, dass dieser Factor auch in i\ und v gleichzeitig erscheint. Nun erscheint also der in 

 ^■, und Ä;., vorhandene Factor schon in w , v , dann in i\ und i\ , folglich auch in i\ und ÜT,,, 

 somit auch in ««, und kann bei der Auflösung der dritten unbestimmten Gleichung in (151) 

 auch dem Werthe von u^ und u ertheilt werden. In solcher Weise fortfahrend, gelangt man 

 endlich zum Schlüsse, dass bei zweckmässiger Wahl auch s, und s, diesen Factor tragen, und 

 demnach derselbe auch in den aus den beiden bestimmten Gleichungen (152) (mit der Deter- 

 minante Eins) gezogenen Werthen von x und y erscheinen wird. Es ist folglich möglich , die 

 ganzen Werthe der Unbekannten x , y , z . . . . w sämmtlieh mit dem Factor zu versehen, der 

 in k^ und Ä.', gemeinschaftlich vorhanden ist. 



Fassen wir all' das bisher Gesagte zusammen, so gelangen wir zur folgenden Beantwor- 

 tung- der oben aufgestellten Frage: Bei einem Systeme von zwei Gleichungen, 

 dessen Determinanten keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaft- 

 lich besitzen, kann höchstens nur der grösste gemeinschaftliche Factor der 

 beiden Constanten A'j , ä;, gleichzeitig in allen Werthen der Unbekannten, 

 welche zu einer und derselben Auflösung gehören, enthalten sein, und es 

 las st sicli stets eine solche Auflösung wirklich angeben. 



§. 14. 



Nach der Beantwortung dieser Frage wird es keiner Schwierigkeit mehr unterliegen, 

 auch die mit ihr im innigen Zusammenhange stehende andere zu erledigen, nämlich anzuge- 

 ben, unter welchen Bedingungen ein System von zwei Gleichungen ganze Auflösungen ver- 

 stattet, selbst dann noch , wenn seine Determinanten einen von Eins verschiedenen Factor 

 gemeinschaftlich besitzen. Um aber der nachfolgenden Untersuchung alsogleich die nothwen- 

 dige Allgemeinheit zu verleihen, bezeichnen wir mit ^{^^ den grössten gemeinschaftlichen 

 Factor aller Determinanten, mit ^^^. jenen aller Grössen (ka) , [kh) , (kc) .... (kg), wo selbst- 

 redend ^ der grösste gemeinschaftliche Factqr ist, der sämmtlichen Determinanten, die sich 

 aus den Coefficienten und Constanten der Gleichungen biklen lassen, ^^ und ^f. hingegen 

 zwei relative Primzahlen bedeuten. Dem in §. i Bewiesenen zufolge ist nur ^^ gleichzeitig 

 auch ein gemeinschaftlicher Factor von /.■, und ko. Das hier in Rede stehende System sei durch 

 die beiden Gleichungen : 



(154) «iX -f b^y 4- c,3 -f . . . . -|- d^u -\- e^v -\- g^io --r^^i^t 



a^x -\- L,y -f- c-s + • • • ■ + d, u -)- e^>z; -f- g.^ lo = f., tp,, 



vorgestellt, wobei der in den beiden Constanten erscheinende gemeinschaftliche Factor <p^ 

 ersichtlich gemacht Avurde. Dasselbe lässt sieli nun durch die im ' §. 12 angewenglete 



