TJber die Axtflösiing eines Systemes von mehreren icnbestimmten Gleichungen etc. 53 



Aiulening der Veräiulerliclien in ein anderes verwandeln, bei dem die J)eterminanten keinen 

 gemeinscliaftliohen Factor mehr aufweisen, der nicht aucli zugleich ein Factor aller Grössen 

 (^ö) , [kb) .... {kg) wäre; kurz, lässt sich in ein System verwandeln, das ganze Auflösungen 

 zulässt. Im gegenwärtigen Falle treten aber an die Stelle der in §.12 angewendeten Substi- 

 tutionen (148) die anderen : 



(155) a: = — , ?/ = — , s = — , . . . . m = — e; = — w = — 



weil sich offenbar der in allen Determinanten und Grössen (/,•«) , {l^h) . . . erscheinende Factor 

 if auch ohne Einführung neuer Veränderlichen , durch die in §. 6 angegebene Combinatiou 

 der Gleichungen entfernen lässt. Hiedurch geht das System (154) in ein anderes über, mit 



den neuen Unbekannten ^,l),3 U,D,lt), welches nach dem Wegschaffen aller Nennei- 



der Brüche die Gestalt erlangt: 



.jggs aijC + 6,^ -L c,ä + + f7,u + e^ ü + 5r, m = l,ip,(p, 



«2?: + ^2 1> + Coj + -f c?2U + 6.2 D + g.> m = f., (pi,<p,,. 



Die Determinanten dieses Systemes sind von- jenen des ursprünglich vorgelegten (154) nicht 

 verschieden, und demnach so wie jene mit dem grössten gemeinschaftlichen Factor (pf,^ ver- 

 sehen. Die Constanteu aber und demzufolge auch die Grössen (kd) , {]ih) , {leg) unterscheiden 

 sich in einem weiteren Factor f,. von jenen des ursprünglichen Systemes. Während also früher 

 die Grössen {ka) , {kh) , . . . ikg) den grössten gemeinschaftlichen Factor (pip,. besassen, werden 

 sie bei dem neuen Systeme (156) den anderen: cpcp^tp^. aufweisen. Der grösste gemeinschaft- 

 liche Factor (fip;. der Determinanten ist demnach bei diesem Systeme (156) gleichzeitig auch 

 in allen Grössen (ka) , (kb) , . . . (kg) als Factor enthalten und es lässt sich demnach durch die 

 in §. 6 auseinandergesetzte Transformation dieser Factor aus allen Determinanten heraus- 

 schaffen, mit anderen Worten, dieses neue System (156) lässt sich den früheren Ergebnissen 



zufolge durch ganze Zahlwerthe der Unbekannten ;i: , t) , 5 , u , ü , lu erfüllen. Führt man 



die in §. 6 angegebene Transformation wirklich aus, so gelangt man zu zwei Gleichungen 

 von folgender Gestalt: 



, _, <?: -!- b,'i) +c/3 + + cZ/u + e/ü -f ^'/lu = t,'(/>, 



(lo/) 



wobei sämmtliche Coefficienten und auch die Constauten k^' , k.^ ganze Zahlwerthe besitzen. 

 Eine leichte Überlegung zeigt noch überdies, dass k^ und k^' relative Primzahlen sind. In der 

 That, besässeu sie noch irgend einen von Eins verschiedenen Factor z. B. gemeinschaftlich, 

 so würde d^^. in allen Grössen (ka) , (kb) .... (kg) dieses Systemes (157) als Factor enthalten 

 sein und, da die entsprechenden Grössen des Systemes (156) nur in einem Factor ^yif. 

 davon verschieden sind, so müsste ihnen (f(p^<p^d und nicht, wie unserer Annahme entspricht, 

 (p<fk<pk als grösster gemeinschaftlicher Factor angehören, und somit ist klar dargethan, dass 

 d keinen von Eins verschiedenen Werth besitzen könne, mit anderen Worten, dass kl und k,^ 

 relative Primzahlen sind. Dieses zuletzt erhaltene System (157) hat demnach in all' seinen 

 Determinanten keinen von Eins verschiedenen Factor mehr gemeinschaftlich und <p^ ist der 

 grösste gemeinschaftliche Factor der Grössen {ka) , (kb) , . . . (kg). Wir schliessen hieraus zu- 

 folge §. 10 . dass man demselben durch ganze Zahlwerthe von ;i:. t) , 3 , u , D , lü Genüge 



