54 Ignaz Heger. 



leisten, und nacli dem im §. 13 gewonnenen Satze, dass nur <l<,. oder einzelne Factoren von 9^4, 

 keineswegs aber eine andere Zahl in einer Auflösung, d. h. in einer Gruppe von zusammen- 

 gehörigen Werthen der Unbekannten gemeinschaftlich erscheinen könne: also weder (p,. noch 

 irgend ein einfacher Factor dieser Zahl. Denken wir uns demnach irgend eine beliebige Auf- 

 lösung gesucht und die gefundenen Werthe von ;t; , t) , 3 , . . . u , ü , in in die Gleichungen 

 (155) substituirt, so gehen die correspondirenden Werthe von x , y , z , . . . . 10 , v , ic hervor, 

 welche das ursprünglich vorgelegte System erfüllen ; sie sind aber alle oder doch zum min- 

 desten ein einziger, wirkliche Brüche, wenn <f,. von Eins verschieden ist. Bringt man sie alle 

 auf einerlei und kleinste Benennung, so ist der gemeinschaftliche Nenner von <f^. nicht ver- 

 schieden. Dass dieses Endresultat immer dasselbe bleibt, welche Auflösung des Systemes 

 (157) man auch unter den unendlich vielen bestehenden erwählen mag, ist wohl überflüssig 

 erst zu erwähnen und somit ausser allem Zweifel , dass ganze Auflösungen des ursprünglichen 

 Systemes unmöglich sind, wenn ^^ einen von Eins verschiedenen Werth besitzt. 



Wir gelangen sohin zur folgenden allgemeinen Eegel, um die Frage zu entscheiden, ob 

 ein gegebenes System von zwei Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten ganze Auflö- 

 sungen zulässt oder nicht: 



Man bestimme den grössten gemeinschaftliehen Factor (f(fi. aller aus 

 den Coefficienten der Gleichungen gebildeten Determinanten: 



{ah) 



{ac) , (bc) 



J 



(ad) . (bd) , (cd) 



(ae) . (be) , (ce) , (de) 



suche hierauf den grössten gemeinschaftlichen Factor ^, der sowohl in 

 dieser Gruppe von Determinanten, als auch in den Grössen: 



(ka) , (kb) , [kc) (kd) , [ke) , (kg) 



erscheint, und dividire nun den ersten dieser gemeinschaftlichen Facto- 

 ren durch den zweiten, so entscheidet der erhaltene Quotient ^4, der 

 jedesmal eine ganze Zahl ist, die obige Frage: Ist ^^ = 1 , so sind ganze 

 Auflösungen wirklich vor banden. Erhält aber ^4 einen von Eins verschie- 

 denen Werth, so kann man dem vorgelegten Systeme nur durch wirkliche 

 Brüche Genüge leisten und ^^. ist geradezu unter allen möglichen der kleinste 

 gemeinschaftliche Nenner derselben. 



§• 15- 



II. Über das Aufsuchen einer speciellen Auflösung in ganzen Zahlen, 

 oder in gebrochenen Werthen mit einem bestimmten Nenner. 



Das Problem, eine specielle Auflösung aufzusuchen, ist im Grunde schon durch die in §. 9 

 und §. 10 gelehrte Transformation vollständig gelöst, da zur Bestimmung der überschüssigen 

 Unbekannten gewöhnliche unbestimmte Gleichungen mit je zwei Unbekannten , oder wen-o 



