Über die Aiißösiuig c//ie&- Systemes von mehreren unhestivimten Gleichungen etc. 55 



man will, gewüliuliehe Congruenzen des ersteu Grades vorliegen; die Bestimmung dei- 

 übrigen zwei Unbekannten aber dann durch Auflösung eines Systenies von zwei Gleichungen 

 des ersten Grades auf bekannte -Weise bewerkstelligt werden knnn. Unsere Absicht ist hier 

 auch keineswegs eine andere, als den Gang der Rechnung zu regeln \\\\i\ namentlich die Bil- 

 dung der unbestinunten Gleichungen auf eine einfache und indepcndente Regel zurückzu- 

 führen. Unter (151) in §.13 finden sich die unbestimmten Gleichungen zusammengestellt, die 

 dem gegebenen Systeme von Gleichungen gleichgeltend sind. Bei den darin erscheinenden 

 Grössen : Ä'^ , Jv,. , TT,, .... K, ist eine indepcndente Bestimmung wünschenswerth , nach- 

 ilem sie bisher nur auf recurrirende Weise abgeleitet wurden. Um zu den Werthen dieser 

 Grössen zu gelangen, werden wir nicht die früheren Substitutionen verfolgen, sondern einen 

 anderen kürzeren und directen Weg einschlagen, indem wir aus den ursprünglich gegebenen 

 Gleichungen alsogleich diejenigen ableiten, die durch eine öftere Wiederholung des bekannten 

 Transformationsverfahrens hervorgehen. 



Wir wollen also die gegebenen Gleichungen: 



a, .-r -f 6,?/ + CiS + . . . . -^Ij-^ . . . . + d,u + e^v + g,w = k, 

 «oX + b,7/ -\- c^z -\- . . . . + ht.-T . • . • + dc,u -f 62?" + <72^ = ^2 



vornehmen, und hier zwei neue Gleichungen mittelst einer einzigen Transformation ableiten, 

 von welchen die erste von t frei ist, und bei welchen die von l .... d , e , g , k freien Deter- 

 minanten von ihrem grössten gemeinschaftlichen Factor ^, ^a • <?€ • 9^; • ^ befreit sind. 



Hier bedeutet ^ den grössten gemeinschaftlichen Factor aller Determinanten : 



(ab) 



(ac) , (bc) 



(al) , (bl) , (cl) 



[ad) , [bd) . {cd) 



(ae) . (be) . (ce) (de) 



(ag) . [bg) , (cg) (dg) . (eg) 



(ka) . (kb) , (kc) (kd) , (ke) , (kg). 



(f(f^ ist der grösste gemeinschaftliche Factor aller jener Grössen dieser Gruppe, die nach Hin- 

 weglöscheu der letzten Zeile übrig bleiben; (p<Pk<Pg der grösste gemeinschaftliche Factor der 

 nach dem Wegstreichen der zwei letzten Zeilen noch übrig bleibenden Grössen dieser Gruppe, 

 d. h. der von k und g freien Determinanten u. s. w. 



Ferner bedeutet (p<p,. den grössten gemeinschaftlichen Factor der mit k versehenen Grössen 

 der letzten Zeile; jjf^.j!', jenen der xmt g versehenen und von k freien Grössen der vorletzten 

 Zeile u. s. w. 



Es sollen nun vermittelst schicklich gewählter Multiplicatoren /j , /. , /Xj , /x, und unter 

 der Annahme f ^ = 1 zwei neue Gleichungen abgeleitet werden : 



alx -[- b;y + ciz -f .... -f //^ -f .... -h d^u + e^v Ar g^w = kl 

 a:x -\- b.ly ^ CoZ -t .... + l.:t ^ .... + d.lu + eJv -(- g.J w — Ä;./, 



