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§. 16. 



III. über das Aufstellen der allgemeinen Formel, welclie alle möglichen 

 ganzen oder gebrochenen Auflösungen mit einem be stimmten Nenner in sieh 

 enthält. 



Die in §. 7 — 10 gelehrte Transformation eines unbestimmten Systemes von zwei Glei- 

 chungen wurde im Vorhergehenden mit Nutzen angewendet, um zuvörderst die Frage zu 

 entscheiden, ob ganze Auflösungen bei einem Systeme zulässig seien, und Avenn dies nicht 

 der Fall war, den Werth des kleinsten möglichen Nenners kennen zu lernen; ferner hat sie 

 ihre Wirksamkeit erwiesen bei der Berechnung einer speciellen Auflösung des Systemes; sie 

 führt aber auch zur allgemeinen Formel, welche alle Auflösungen einer bestimmten Gattung 

 (entweder alle ganzen oder alle gebrochenen mit einem bestimmten Nenner) in sich schliesst 

 und mit einer entsprechenden Anzahl ganzer willkürlicher Grössen verknüjjft ist. In §. 2 

 wurde die allgemeine Gestalt einer solcher Formel bereits entwickelt, und angegeben, dass 

 die Aufstellung derselben im Grunde die specielle Auflösung mehrerer verschiedener Systeme 

 von Gleichungen voraussetze, die aus dem gegebenen Systeme durch sehr einfache Substitu- 

 tionen abgeleitet werden können. Die hier in Eede stehende Transformationsweise des 

 Systemes von zwei Gleichungen würde ohne alle diese früheren Untersuchungen zu genau 

 demselben Resultate führen , wenn mau anstatt, wie bisher geschehen, bei der Auflösung der 

 unbestimmten Gleichungen nur einen einzigen speciellen Werth der darin enthaltenen Unbe- 

 kannten aufzusuchen, den completen , mit einer willkürlichen ganzen Grösse verknüpften 

 Werth sich verschaffen würde. Die so eingeleitete Rechnung würde dann offenbar zu einer 

 gleichen Anzahl von willkürlichen Grössen führen, als unbestimmte Gleichungen, oder was 

 dasselbe ist, als überschüssige Unbekannte in den Gleichungen vorhanden sind. Insoferne 

 wäre demnach mit der in Rede stehenden Transformation eines Systemes von zwei unbestimm- 

 ten Gleichungen sogar das hier vorliegende Problem, nämlich die allgemeine Auflösung als 

 erledigt und auf bekannte Grundoperationen zurückgeführt anzusehen. Nichts desto weniger 

 halten wir es für erspriesslich, dieses Problem noch einer näheren Erörterung zu unterziehen, 

 da es in allen Fällen , wo diese Rechnungen nur einigermassen an Umfang zunehmen , eine 

 klare Übersicht und das Vermeiden aller Umwege unerlässlich wird. Dies ist der Grund 

 warum wir hier die in Rede stehende Transformation ersetzen werden durch ein anderes gere- 

 geltes Verfahren. 



Nach den Ergebnissen des §. 2 ist die allgemeine Formel der Auflösungen eines Systemes 

 von zwei Gleichungen ihrer Gestalt nach durch die (15) gegeben, wenn man darin ?i=2 setzt. 

 Bevor man aber zur Aufstellung derselben schreitet, ist noch früher zu bestimmen, welche 

 Ordnung man den verschiedenen Unbekannten anzuweisen gesonnen sei, gewissermassen, 

 welche derselben man als unabhängige und welche als abhängige betrachten wolle, weil 

 von dieser Anordnung der Unbekannten die Gestalt der allgemeinen Auflösung abhängt, wie 

 schon im §. 2 erörtert wurde. In den gewöhnlichen Fällen, wo alle Determinanten des Systemes 

 von Null verschieden ausfallen, unterliegt diese Anordnung der Unbekannten keinerlei 

 Beschränkung und man kann nach voller Willkür dabei zu Werke gehen , indem eine jede 

 mit gleichem Geschick die Rolle der Unabhängigen, wie jene der Abhängigen zu übernehmen 

 geeignet ist. In gewissen Fällen aber, die zu den Ausnahmen zu rechnen sind , erweisen sich 

 manche Unbekannte als untauglich, die Rolle der Unabhängigen zu spielen, indem ihre Wejthe 



