über die Außöniiiiij t'iiies Systemes von mehreren unbcatimmt.cn G leickungen etc. 67 



und ordne sie, wie hier gcst-lielien , in Vertical- und ITorizontalrcihen. Der erste Buchstabe 

 einer jeden Ambe bezeichnet zuo-Icich die betreffende Ilorizontalrcilie , der zweite aber die 

 Verticalreihe. Eine jede solche Ambe, wie z. B. [ka) bedeutet einen binomischen Ausdruck : 



ihM- aus den vier Cocfficienten : 



k, «1 



abgeleitet wird, und für den die Bezeichnung : „Detei'minantc"' gebräuchlich ist. Solcher Deter- 

 minanten hat man so viele zu bilden, als xVmben vorlianden sind. 



Hat man alle Determinanten (192) gebildet und in der angegebenen Weise in Horizon- 

 tal- und Vertiealreihen geordnet; so hat man zwei Fälle zu unterscheiden: erstens alle 

 Determinanten sind von Null verschieden, oder doch wenigstens in einer jeden Horizontalreihe 

 eine einzio'e; oder zweitens sämmtliche Determinanten einer Horizontalreihe sind Null. Im 

 ersten und häufigeren Falle kann man ungehindert weiter schreiten , im zweiten jedoch ist es 

 erwiesen, dass eine bisher als unabhängig betrachtete Unbekannte ihre Rolle mit einer der 

 beiden bisher als abhängig betrachteten Unbekannten v , w vertauschen müsse. In einem sol- 

 chen Ausnahmsfalle hat man sich im weiteren Verlaufe der Rechnung an die Vorschriften des 

 §.25 zu halten. 



Drittens : Nun suche man für jede Horizontalreihe von Determinanten (192) den gröss- 

 ten gemeinschaftlichen Factor. Die so gefundenen Zahlen seien beziehungsweise: 



(193) F, , F^ , F^ , F„ , (eg). 



Aus dieser leitet man nun drei andere Reihen ab : 



(194) / , ./. , y; / ^ {^9) 



(195) ^. , ^. , i^, </'. , 1 



(196) ^, , ^, , f „ ip„. 



Die erste dieser Reihen (194) wird aus der (193) in der Richtung von rechts nach links abge- 

 leitet, y^ ist der grösste gemeinschaftliche Factor der zwei letzten Glieder F,, , (eg) der Reihe 

 (193) ; f^ der grösste gemeinschaftliche Theiler von F^ , F. , . . . F^ , [eg)-., f,. der grösste ge- 

 meinschaftliche Factor von F^ und/^, also auch von F^ , F,^ , F^ , . . . F^ , (eg); endlieh/ der 

 grösste gemeinschaftliche Factor der zwei Zahlen F,^. und /,., also auch der completen 

 Gruppe (193). Es ist hiemit klar, dass /der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Deter- 

 minanten (192), /,. der grösste gemeinschaftliche Factor aller von /.; freien Determinanten sei, 

 die nach dem Weglöschen der ersten Horizontalreihe übrig bleiben. / entspricht allen von k 

 und a freien Determinanten, welche nach dem Weglöschen der zwei ersten Horizontalreihen 

 übrig bleiben, als grösster gemeinschaftlicher Factor u. s. w. 



Die Glieder der Reihe (195) werden durch Division der Glieder der Reihe (193) durch 

 die entsprechenden der (194) gewonnen. Ihre Werthe sind folgende: 



(i9o) ^^ = 7 • ^'' =7r • ^." = 77 ^" = X • ^- 



