86 Ignaz Heger. 



Aus diesen Wei'then kann man jede beliebige Gattung von Auflösungen, welche überhaupt im 

 Bereiche der Möglichkeit liegt, durch eine allgemeine Formel darstellen. Die mit dem kleinst- 

 möglichen Nenner 10 versehenen Auflösungen sind gegeben durch die folgende allgemeine 

 Formel : 



Die hier aufgeführten Beispiele haben zur Genüge nicht blos die Wirksamkeit des in Rede 

 stehenden Auflösungsverfahrens an den Tag gelegt, sondern auch gleichzeitig zur Überzeugung 

 geführt, dass die erforderlichen Rechnungen keineswegs sehr bedeutend sind und sogar in den 

 meisten Fällen durch zufällig obwaltende Umstände auf ein Minimum hei'absinken. Solcher 

 Zufälligkeiten haben wir zweierlei kennen gelernt: erstlich solche, welche die Bildung ge- 

 wisser Determinanten ganz überflüssig machen, und zweitens andere, welche den Rechner von 

 der Auflösung der unbestimmten Hilfsgleichungen, dann von der Bildung der Grössen K,X, 

 Y, Z , . . und der im zweiten Theile der zur Bestimmung von ^' , t) , j , . . . dienenden unbe- 

 stimmten Gleichungen oder Congruenzen stehenden Ausdrücke und einer wirklichen Auflösung 

 derselben entheben. Die Fälle, in welchen solche günstigen Umstände zufällig obwalten, ge- 

 hören keineswegs zu den seltenen Ausnahmen, sondern im Gegentheile zu den gewöhnlichen 

 Fällen und es ist nicht schwer, sich zu überzeugen, dass die günstigen Fälle den ungünstigen 

 an Wahrscheinlichkeit überlegen sind, besonders dann, wenn, wie dies gewöhnlich der Fall 

 ist, die Coefficienten der Gleichungen nur ein- oder zweiziflrige Zahlen sind. Vergleicht man 

 nun mit unserer Auflösungsmethode die bisher üblichen , auf Substitution oder Elimination 

 gegründeten Methoden, welche im Grunde sogar den Namen einer analytischen Methode nicht 

 verdienen, da sie alle nur im Ausscheiden der unbrauchbaren Auflösungen und nicht in der 

 directen Bildung der brauchbaren bestehen; so zeigt sich auch ein nicht unbeträchtlicher 

 Vorzug unserer Methode selbst in Bezug auf die wirkliche Berechnung. 



§• 23. 



Die hier auseinandergesetzte Auflösungsmethode, insbesondere aber mit Rücksicht auf 

 die eben erwähnten Abkürzungen der Rechnung, äussert auch ihre Wirksamkeit auf ein System 

 von zwei Gleichungen mit einer unendlich grossen Anzahl von Unbekannten. Solche ergeben 

 sich nicht selten in den verschiedenartigsten Partien der Analysis. So z. B. ist die n'" Potenz 

 eines Polynomes a ^ bx -\- cx' -f dx^ + • • • darstellbar als eine Summe : 



[a^hx^cx^ ^dx'^ ... .)'■ = 8\--^^ a'^h^cUV. . . . x^+^r+3J+...1 



^ ' ' ' ' ' la/ß/f.'ß/ J 



welche auf die verschiedenen Werthe der Grössen a , j3 , }■ , d . . . . auszudehnen ist. Diese 

 Grössen haben eine Bedingungsgleichung : 



