über die Auflösung eines Systemes von melirei-en unhostimviten Gleichungen etc. 87 



zu erfüllen und dürfen noch überdies weder neo-ative nocli andere als sranze Wertlie crlan- 

 gen, wenn n eine ganze positive Zahl ist. Verlangt man nicht die vollständige Entwickelung 

 dieser w""" Potenz des gegebenen Polynomes, sondern nur das mit x" versehene Glied dersel- 

 ben, so ist dasselbe gegeben durch die Summe: 



x'-Sl—-^^ a"iVc/" ] 



L«/j3/J'.'tf.' .... J 



die auf alle ganzen und positiven Werthe von a . ß . y , d . . . . auszudehnen ist. Nullwerthe 

 mit einbegriffen, welche die zwei Gleichungen erfüllen: 



(237) T / . / T -r 



^ y? + 2r+3o^+ = r. 



Diese zwei unbestimmten Gleichungen, deren Zusammenhang mit der Polynomialformel 

 hier nachgewiesen ist, finden sich auch in genau derselben Gestalt in vielen anderen Formeln 

 der Differentialrechnung. Wir wollen desshalb hier die gleichzeitige Auflösung derselben in 

 ganzen Zahlen wirklich ausführen. Dieses eine Beispiel wird zur Genüge die Behandlungs- 

 weise solcher Gleichuno'en mit unendlich vielen Unbekannten deutlich machen. 



Bezeichnen wir vor der Hand die in'-'' und [m -\- l'"") Unbekannte, die durch k und jx ange- 

 deutet sein mögen, als die beiden abhängigen, so hat man nach der angegebenen Regel die 

 vier Glieder: 



mX -\- (m + l)/i 



hervorzuheben und die Determinante zu bilden. Dieselbe ist hier gleich Eins und somit liegt 

 hier der einfachste mögliche Fall vor. Da dies für jeden beliebigen Werth von wi stattfindet, 

 somit auch für ?«^c5o, so ist klar, dass man die Unbekannten a , ß , y , o . . . . sämmtlich als 

 willkürliche ganze Zahlen betrachten könne. 



Für den Zweck, die oberwähnten Formeln wirklich zu bilden, ist hiemit freihch wohl 

 noch nicht Alles geschehen, weil ausser dem Erfülltsein der beiden Gleichungen in ganzen 

 Zahlen noch gefordert wird, dass a , /S ,;-,<?,,. . positive Zahlen sind oder gleich Null aus- 

 fallen, mit anderen Worten, dass sie das System von Ungleichungen erfüllen: 



a>0 , ß>0 , r>0 , d>0 , 



Die Erörteruno- dieser Bedingung erheischt noch eine andere Untersuchung, nämlich die 

 Auflösung eines Systemes von linearen Ungleichungen. 



S- 



Erörteruno- jener Fälle, in welchen einzelne oder Gruppen von Determi- 

 nanten gleich Null werden. 



Zuvörderst wollen wir die Frage beantworten: In welcher Weise können Deter- 

 minanten gleich Null werden? Hierauf aber den Einfluss einer derartigen Erscheinung 

 auf die Auflösung der Gleichungen untersuchen. 



