88 Ignaz Heger. 



Schon im §. 4 wurde die Relation (23) 



a{bc) — hiac) -^ c[ab) ^0 



aufgeführt. Diese führt auch zur Beantwortung der ersten Frage. Es ist hier ersichtlich, dass 

 wenn die zwei Determinanten (a6) und (ac) gleichzeitig verschwinden, auch Oj (bc) und a^ (bc) 

 gleich Null ausfallen. Dies kann aber nur erfolgen, wenn (bc) = ist, da der andere 

 mögliche Fall a^ = a., = offenbar für unsere Zwecke ohne Sinn ist. Wir schliessen hieraus, 

 dass mit dem Verschwinden zweier Determinanten, welche einen Buchstaben gemeinschaftlich 

 haben, auch das Nullwerden einer dritten Determinante nothwendig verknüpft sei, derjenigen 

 nämlich, welche die beiden anderen Buchstaben in sich vereinigt hat. Diese Gruppe von drei 

 gleichzeitig verschwindenden Determinanten entspricht den Amben, welche aus den drei 

 combinatorischen Elementen a , b , c gebildet werden können. 



Es ist nicht schwer, den hier betrachteten Fall von drei gleichzeitig verschwindenden 

 Determinanten auf eine Gruppe von mehreren auszudehnen. Z. B. Es seien : 



(ab) , (bc) , (cd) 



drei verschwindende Determinanten, so werden nothwendig auch die folgenden Determinanten : 



(ac) , [bd) 

 (ad) 



gleichzeitig verschwinden, mit anderen Worten : alle jene Determinanten, welche den verschie- 

 denen Amben entsprechen, welche aus vier combinatorischen Elementen a , b ^ c , d gebildet 

 werden können, verschwinden alle gleichzeitig, sobald nur drei derselben, deren Buchstaben 

 die vier Elemente a , b , c , d erschöpfen, gleich Null ausfallen. Diese Schlussfolgerung lässt 

 sich auf beliebig viele Elemente ausdehnen und man gelangt ohne Schwierigkeit zu dem Satze, 

 dass ein Verschwinden von r — 1 Determinanten, deren Buchstaben einen Complex von r Buch- 

 staben darstellen, nothwendig auch das Verschwinden aller übrigen Determinanten zur Folge 

 liat, die aus diesen r Buchstaben hervorgehen können. 



Es gibt noch einen anderen Weg, sich von der Wahrheit des Gesagten zu überzeugen. 

 Das Verschwinden einer einzelnen Determinante (ab) =:r a^ 6^ — ^2 ^i erfolgt nämlich immer 

 dann , wenn die Grössen a^ , a.^ , b^ , bo einander proportional sind. Sind drei Goclficienten- 

 paare cii , a., , b^ , bo , c^ , c, einander proportional , so verschwinden offenbar alle Determi- 

 nanten, die aus ihnen gebildet werden können, nämlich drei an der Zahl. Sind aber r Coeffi- 

 cientenpaare einander proportional , so müssen nothwendig alle aus ihnen hervorgehenden 

 Determinanten — ^^ an der Zahl gleich Null ausfallen. 



Eine unmittelbare Folge des Gesagten ist, dass bei der von uns angewendeten Anord- 

 nungsweise der Determinanten in Vertical- und Horizontalreihen ein Verschwinden aller 

 Determinanten irgend einer Horizontalreihe nur dann erfolgen könne, wenn auch 

 alle Determinanten der vorhergehenden Horizontalreihen gleich Null aus- 

 fallen.' Sollte z. B. in der Determinantengruppe: 



{de) , (dg) 



