über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 91 



Aus dem hier Auseinandergesetzten eryibt sieli eine eiyoiie Eeyel, soldie Au^naliiusrällc 

 zu behandeln, bei denen einige Horizontalroihen der Determinanten verschwinden. Die 

 Rechnung ist durchaus keine andere, als bei den gewöliidiclien Fällen, sondern im Gegentheile 

 oft eine nicht unbedeutende Vereinfachung damit verbundon. 



Man beginnt mit der Bildung der Determinante (er/). Erweiset sich diese gleich Null, so 

 ertheilt man der Unbekannten lo die Rolle einer unabhängigen Grösse und sieht nun ic und ?> 

 als die beiden abhängigen Grössen an. Demgemäss strciclit man die letzte Vertiealreilie der 

 Determinanten : 



i^9) > (^-g) , ■ • ■ ■ (cg) , {(>g) , {ag) , {kg). 



Nun bildet man [de) und hat hier zwei Fälle zu berücksichtigen und darnach die weitere 

 Rechnung einzurichten. Ist nämlich auch [de) = , so ist auch v als unabhängig anzusehen, 

 also auch die Verticalreihe : (Je) , . . . (ce) , (be) , (ae) , (^-e) der Determinanten zu streichen. 

 Die beiden letzten der Unbekannten x , g , z , . . . u sind nun vorläufig als die abhängigen 

 Grössen anzusehen. Ist aber (de) von Null verschieden, so dient dies als Beweis, dass ic und v 

 wirklich als abhängige Grössen betrachtet werden köinien und der Gang der Rechnung unter- 

 ließt fernerhin keiner Störung mehr. 



Aus dem Gesagten geht klar hervor, dass das bekannte gewöhnliche Verfahren auch hier 

 gelte, und dass dasselbe namentlich anfangs nur die Aufsuchung derjenigen zwei Unbekannten 

 zum Zwecke hat, welche die Rolle der abhängigen Grössen übernehmen können. Sind diese 

 zwei gefunden, was sich immer dadurcli kund gibt, dass man beim Fortschreiten in der 

 Diagonalreihe: 



(238) (eg) , (de) ,.... (cd) , (bc) , (ab) , (ka) 



endlich zu einer von Null verschiedenen Determinante gelangt, so ist das weitere Verfahren ein 

 bekanntes und der gefundenen Vertheilung der Rolle der Abhängigkeit und Unabhängigkeit 

 entsprechendes. Verschwinden (eg) , (de) , . . . (cd) , (6c) , (ab) sämmtlich, aber (ka) 

 nicht, so sind die Gleichungen widersprechend, ist aber auch noch (ka)^=0, so sind die zwei 

 Gleichungen von einander nicht verschieden. 



Aus der bisherigen Auseinandersetzung würde aber folgen, dass den durch Nullwerden 

 gewisser Anfangsdeterminanten der erwähnten Diagonalreihe (238) als unabhängig bezeich- 

 neten Unbekannten in den Gleichungen statt der letzten Stelle eine der ersteren einzuräumen 

 wäre und dass demzufolge ihnen auch eine bestimmte Horizontalreihe von Determinanten im 

 Schema entsprechen müsse. Man würde aber nur überflüssige Rechnungen ausführen, wollte 

 man sich wirklich an diese Vorschi'ift halten. Es lässt sich nämlich zeigen, dass diese 

 Determinanten sich von jenen einer entsprechenden schon gebildeten Verticalreihe nur 

 in einem constanten Factor unterscheiden. Dies zu beweisen, soll zunächst unsere Aufgabe 

 sein. 



Wir nehmen also an, (eg) sei gleich Null, (de) aber von Null verschieden, und wollen 

 nun zeiffen. dass die Determinanten: 



^ö^ 



(dg) , (cg) . ibg) , (acj) . (I^g) 



