94 Ignaz Heger. 



sei das gegebene System von Gleichungen, n deren Anzahl und in jene der darin erschei- 

 nenden Unbekannten : a^i , cCj , a?3 , . . . a;,„, wobei n und m beliebig grosse Zahlen bedeuten 

 können, jedenfalls "aber in der Relation n <^m zu einander stehen. 



Die im Vorhergehenden auf ein System von zwei Gleichungen angewendete Methode 

 lässt sicli auch auf diesen allgemeinen Fall ausdehnen ohne eine wesentliche Abänderung zu 

 erleiden. Wir verwandeln durch eine Reihe von Transformationen und durch Einführung neuer 

 Unbekannten das ursprünglich gegebene System von n Gleichungen in eine Reihe von 

 unbestimmten Gleichungen oder , wenn man will, Congruenzen des ersten Grades 

 und in ein Svstem von bestimmten Gleichungen. Die Anzahl der unbestimmten 

 Gleichungen oder Congruenzen kommt der Anzahl m — n der überschüssigen Unbekannten 

 gleich, welche durch das vorliegende System nicht bestimmt werden. 



Diese Transformationen der Gleichungen bilden keineswegs einen unvermeidlichen Theil 

 der wirklichen Rechnung; im Gegentheile lässt sich eine sehr einfache Regel angeben, ähnlich 

 derjenigen für ein System von zwei Gleichungen, wodurch die wirklichen Rechnungen auf 

 ein Minimum herabsinken. 



Bei der eben erwähnten Regel spielen gewisse Grössen eine Hauptrolle, welche aus den 

 Coefficienten der Gleichungen gebildet werden und für welche die bekannte Bezeichnung: 

 „Determinanten" besteht. Wäre nämlich das obige System von n Gleichungen ein 

 bestimmtes, d. h. m = n., so würde denselben eine einzige Determinante entsprechen, gebildet 

 aus der Gruppe von Coefficienten: 



(2) 



n, , n. , ^^3 , . . . . n„ 



durch ein geregeltes combinatorisches Verfahren, das hinlänglicli bekannt ist. Wir wollen 

 diese Determinante mit dem Symbole : 



(3) |1. , 2, , 83 «„] 



bezeichnen. Im gegenwärtigen Falle aber, wo m <Ch ist, also die Coefficienten der Gleichun- 

 gen eine grössere Anzahl von Verticalreihen als von Horizontalreihen bilden, kann man nach] 

 Belieben n Verticalreihen hervorheben und aus ihnen eine Grösse bilden ähnlich der (3). Dies 

 wird auf so viele verschiedene Weisen geschehen können, und demnach auch zu so vielen 

 verschiedenen Grössen führen, als Combinationen zu n Elementen aus m Grössen gebildet werden 

 können. Es entsprechen folglich einem Systeme von n Gleichungen mit m Unbekannten 



, Determinanten, feie snid lols-ende: 



1.2.3...« ° 



[1,2,33...«,,] . \l,2,$,...(n-l)„_,n„^,] , [1,2,33... («-1)„_,«,.^..,] 



(4) [1,233,...«,,^,], [1,2.,3, ...(»-1)„ «„^,J , [1,233,... («--1)„ «„+3] 



[I3 2, 3, . . . n„^,\ , [1, 2, 3, . . . [n - 1)„+, n„^,\ , [I3 2,3, . . . (» - 1)„+, »„.,,] 



