Über die Aiiflösunff eines Systemen ron mehrere)! iiiihcsiiunnten Gleiclinngen etc. 0.") 



Ausser den Detenuinanten y\) komiuen bei Jen in I\edc stehenden Untersuchungen noch 

 andere Grössen vor, in welchen die Constanten Ij. , 2^. , 3,, . . . n,. der Gleichungen erscheinen 

 und die sich von den Determinanten (-1) nur (hidurdi unterscheiden, dass an die SteUo der 

 Coefficienten einer Verticalreihe diese Constanten treten, welche im Grundo die (w -f 1)"" 

 Verticalreihe vorstellen. Diese Grössen sind, der früheren Bezeichnungsweise treu bleibend : 



(5) [1.2,3, «„_.] , [1,2,3, {n--\\_,n,\ , [1,2,3, (^«- l)„_,?^„+,J 



Wir wollen diese Grössen kürzehalber mit dem Buchstaben K bezeichen, während der 

 Buchstabe D den Determinanten (4) als allgemeines Symbol entsprechen soll. Die Anzahl der 

 Grossen K ist onenbar , denn dies ist die Anzahl der Combinationen zu 



1.2. ..n — \ 



n — 1 Elementen, die sich aus to Grössen bilden lassen. 



Wir schreiten nun zu den wirklichen Untersuchungen und namentlich zur Aufstellung der 

 aligemeinen Regeln, vermittelst deren sich die auf das vorliegende Problem Bezug habenden 

 drei Hauptfragen beantworten lassen. 



I. Erörterung der Bedingungen für das Vorhandensein ganzer Auf- 

 lösungen. 



Zur Beantwortung der Frage, ob ganze Werthe der Unbekannten x-, . ccj , ccg , . . . x,„ 

 dem vorliegenden Systeme von Gleichungen Genüge leisten können oder nicht, führt folgender 

 Lehrsatz: Wenn der grösste gemeinschaftliche Factor sämmtlicher Deter- 

 minanten D des vorgelegten Systemes gleich Eins ist, so bestehen ganze 

 Auflösungen; ist hingegen derselbe von Eins verschieden, so sind ganze 

 Auflösungen nur dann vorhanden, wenn auch alle Grössen K diesen Factor 

 besitzen. 



Bevor wir jedoch zum Beweise dieses Lehrsatzes schreiten, müssen wir noch einige Hilfs- 

 sätze vorausschicken. 



§. 2fi. 



Ein System von mehreren Gleichungen des ersten Grades, gleichgültig ob ein bestimmtes 

 oder unbestimmtes, lässt sich auf unendlich viele verschiedene Arten durch ein anderes gleich- 

 geltendes System von Gleichungen ersetzen, welche dieselbe Hauptform tragen, und sich nur 

 in den Coefficienten und Constanten unterscheiden. 



Das Verfahren, mittelst dessen solche Gleichungen erhalten werden, ist hinlänglich 

 bekannt: Man multiplicirt nämlich die Gleichungen der Reihe nach mit beliebig gewählten 

 Zahlen und addirt sie liierauf. Das Ergebniss Iiievon ist jedesmal eine Gleichung, welche für 

 genau ih'eselben Werthe der Unbekannten erfüllt ist, welche dem ursprünglich gege- 

 benen Systeme Genüge leisten. Durch eine ?? malige Wiederholung dieses Verfahrens, nur mit 

 Anwendung anderer Multiplicatoren gewinnt man ein System von n Gleichungen, die alle 

 gleichzeitig erfüllt sind für jene Werthe der Unbekannten, welche das ursprüngliche System 

 erfüllen. Li der Regel gilt auch das Umgekehrte, d. h. alle jene Werthe der Unbekannten, 

 welche das neue System erfüllen, leisten auch dem ursprünglichen Genüge, so zwar dass diese 

 beiden Systeme einander völlig gleichgelten. Es kann sich aber in Folge einer unzweekmässi- 

 gen Wahl der Multiplicatoren ereignen, dass die abgeleiteten n neuen Gleichungen nicht 



