ll)er die Anßösu»g entes Systemes von mehreren unbestimn/f' n dleichungen etc. 97 



Eins ve rs (■ h i e (leuoii Factor gemeinschaftlich besitzen und dessen Coeffi- 

 cienten und Constanten gleichfalls ganze Zahlen sind. 



l)io Verwandlung des gegebenen Systemes (1), dessen Determinanten D und K den 

 grössten gemeinschaftlichen Factor (p besitzen, in ein anderes gleichgcltendes, mit Determinanten 

 D'. welche keinen von Eins verschiedenen Factor enthalten, kann, nach dem eben früher an^e- 

 führten Satze von der Multiplication der Determinanten, nur für eine solche Wahl der transfor- 

 niirenden Multiplicatoren p zu Stande kommen, welche der Multiplicatoren-Determinante P = 

 \l\ 7 P-2 1 Pi ^ ■ ■ ■ p„] ^^Pi^ Werth — ertheilcn und noch überdies sämmtlichen Coefficienten 

 und Constanten der transformirten Gleichungen ganze Zahlwerthe ertheilen. 



Solcher Multiplicatoren bestehen unendlich viele. Es unterliegt keiner Schwierigkeit, 

 die Form derselben in ihrer vollen Allgemeinheit zu entwickeln , Avenn man die Bedingungen 

 analytisch ausdrückt, welche sie zu erfüllen haben, und einen ähnliehen Weg wie in §. (l 

 einschlägt. Uns ist hier nicht der Raum gegönnt, diese Untersuchungen wirklich durchzuführen 

 und wir beschränken uns darauf, speeielle Werthe der Multiplicatoren^ aufzustellen, welche 

 die obenerwähnten Bedingungen erfüllen; sind aber genöthigt, wegen Mangel an Eaum, die- 

 selben in symbolischer Form aufzuzeichnen. Sie sind folgende: 



" / -.xa+i [ll2233...(a — l)a-l(a + l)a n„-i] 



¥> -i^l. ^1.2. ^1.2.3... ^1.2.3... S^T 



« _ . J^„^o -S {[li2233 ■■■(«- lh-i{a + l)a (n — l)„-inß] f)^ 



p.^l . ^l.a.^^l.2.3... ^l.ä.3...n — 2 



0») Ä=(-i) 



„+3 S \[U22 3i...(a~l)a-i(a+l)a (w— 2)„-3(« — l)r, Uy ] liy\ 



<P ■4'i- 4'l--i • 4'1-i-» • ■ • ^1.2.3... (i— 3 



" , . .a+; ^ \\U-2->:ii. . .(«— ]),z-i(/z+ l)a. ..(n — /+ l)„_,(?i — !--|-2)s, 



..«.]8.«.....i 



f-Vi.Vi.i ipi-'i-i---«- 



Diese Formeln geben die Werthe der Multiplicatoren^ an und zwar zunächst derjenigen, 

 welche die Zahl a als oberen Stellenzeiger besitzen. Aus diesen allgfemeinen Formeln o-ehen 

 unmittelbar die Werthe aller Multiplicatoren hervor, wenn man die Zahl a der lieihe nach 

 durch 1,2,3,...« ersetzt. Die erste der hier aufgestellten Formeln gibt den Werth 



a 



von p^-. im Zähler des Bruches erscheint eine durch das Symbol: 



[1,2,33.... (<z-l ),_,(«+!)„ »„_,] 



angedeutete Determinante. Die Stellenzeiger in diesem Symbole sind : 1,2,3....« — 1 , 

 a , a-\-l . . . . n — 1 somit die in natürlicher Reihenfolge geordneten ganzen Zahlen von 1 bis 

 n — 1 ohne alle Unterbrechung. Die Zahlen hingegen, denen diese Indices angehängt sind, 

 zeigen eine Unterbrechung der natürlichen Zahlenfolge, denn es fehlt die Zahl a. Hiemit 

 liegt auch die Regel offen am Tage, wie dieses Symbol zu bilden ist. Man schreibe der Reihe 

 nach die ganzen Zahlen von 1 angefangen bis n mit Hinweglassung von a , füge denselben 

 die natürliche Reihe der Stellenzeiger 1,2,3....« — 1 unten an und schliesse die Klammer. 

 Der Xenner des Bruches, weicherden Werth von j^, gibt, ist ein Product mehrerer Factoren, 

 welche folgende Bedeutung haben: (p ist der grösste gemeinschaftliche Factor, der in allen 



DenkscIiriftKii der niatlieni.-naturw. Cl. XIV. Bd. Abtiandl. v. Nichtmitt;!. u 



