100 Ignaz Heger. 



ist eine identische, wie sich leicht erweisen lässt. [1„ 2j 3^ . . . (a — 1)^ («-|-1), . . . »zj bezeicli- 

 net eine Determinante der Ordnung n — 1, hingegen [1^ 2„ 3^ 4^ . . . ».,] eine Determinante der 

 Ordnung n , in welcher von den Zahlen 1 , 2 , 3 , 4 . . . ?z keine einzige fehlt. Die Indices 

 d,a,b,c,...g unterscheiden sieh von jenen in [1„ 2^ 3^ . . . (a — 1),; («+ 1)^ . . . »J dadurch, 

 dass ihre Anzahl um Eins grösser ist, und s allen vorangesetzt erscheint. Hier wollen wir nur 

 bemerken, dass die im zweiten Theile dieser Gleichung erscheinende Determinante gleich 

 Null wird, wenn s mit irgend einem der Stellenzeiger a , b , c , . . . g übereinstimmt , im entge- 

 o-eno-esetzten Falle aber von Null verschieden ist. Wenden wir diese Formel auf den vorlie- 

 genden Ausdruck (15) an, so lässt sich die Summirung nach a alsogleich bewerkstelligen und 

 wir finden: 



(17) ?•;= ~, '^=^ =- 6'l[1.2,o,4,....m — r-t- 1)„_,.X 



In diesem Ausdrucke sind nur noch die Summirungen nach den Grössen s zu bewerkstelligen. 

 Man könnte aucli die darin erscheinende Determinante : 



(18) [ 1. 2, 3, 4, (n — r + 1 )„__,. (n — r + 2),^_^ .... n,] 



auf eine geordnete Form bringen, indem man dem Stellenzeiger s eine spätere Stelle in der 

 Reihe der Stellenzeiger einräumt, so zwar, dass sie in ihrer natürlichen Grössenordnung auf- 

 einander folgen, wie dies bei unserer Bezeichnungsweise üblich war , wobei man noch ferner 

 das Vorzeichen + oder — vorzusetzen hätte, je nachdem der Stellenzeiger s dann eine gerade 

 oder eine ungeyade Anzahl von Stellenzeigern vor sich hätte. All' dies unterlassen wir aber 

 hier, weil wir nur zeigen wollen, dass ■$, einen ganzen Zahlwerth besitzt. Dies zu beweisen 

 gelingt sehr leicht, denn in der vorliegenden Determinante (18) sind unmittelbar die Stellen- 

 zeiger: 1 , 2 , 3 , . . . ?2 — r ersichtlich und jede solche Determinante ist, unserer Bezeichnung 

 gemäss, durch (f .(^\ .(^\ .... .^^ .^^__ -;^37 theilbar, denn dieses Product ist eben der grösste gemein- 

 schaftliehe Theiler aller Determinanten, in denen die Stellenzeiger: 1,2,3....« — r er- 

 scheinen. Es ist folglich r/ eine ganze Zahl, weil die in (17) angezeigte Division sich wirklich 

 ausführen lässt und somit allgemein bewiesen, dass alle Coefficienten der transformirten 

 Gleichungen und auch die Constanten ganze Zahlwerthe besitzen. 



Es bleibt nun noch übrig, zu zeigen, dass die Determinanten des transformirten Systemes 

 vom gemeinschaftlichen Factor ^ frei sind, überhaupt, dass sie keinen gemeinschaftlichen 

 Factor mehr besitzen. Zu diesem Zwecke wollen wir die Coefficienten der n ersten Vertical- 

 reihen im transformirten Svsteme, nämlich : 



ri9) 



einer genauei'en Prüfung unterziehen. Sie gehen alle aus der allgemeinen Formel (17) für ?•/ 

 hervor, wenn man statt r und s die entsprechenden Werthe setzt. Vor allem zeigt sich , dass 

 wenn s<n — r ist, ?V gleich Null wird. In der That wird die Determinante unter dem 



