102 Ignaz Heger. 



[ll 22 33 mn] 



<p.4'i-4'i , a . ^'i . 2 , 3. . . 4'i , 2 



zusammenfallen lässt. Setzt man nun in der Formel (25) der Reihe nacli r = 1 , 2 , o , . . . ti 

 mit Rücksieht auf die Bedeutung von ^i , o , 3 , . . . ,< und substituirt die erhaltenen Werthe von 

 l'2'.o',... 71,' in den zweiten Theil der Gleichung (22), so findet man: 



C-^6) [1/2,; 3; »;] = ^[1,2,33 n„] 



Man sieht hieraus , dass diese Determinante des transformirten Systemes aus der ursprüng- 

 lichen [ll 2333. ..72„] vermittelst Division durch ^ erhalten wird. Die Multiplicatorendeter- 

 minante [pij>-2p3 • ■ ■ J)„] hat somit den Werth — und es ist einleuchtend, dass auf solche 

 "Weise der in den ursprünglichen Determinanten enthaltene grösste gemeinschaftliche Factor 

 6? bei allen herausfällt und sonach die Determinanten des neuen Systemes keinen von Eins ver- 

 schiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen können. Es ist hiemit der Satz erwiesen, 

 dass jeder in allen Determinanten D und K eines Systemes von Gleichungen 

 erseheinende gemeinschaftliche Factor durch geeignete Transformation 

 he raus ges chafft wer den könne, ohne den Coefficienten und Constanten der 

 Gleichungen gebrochene Werthe zu ertheilen. 



Es ist für sich klar, dass die hier gebrauchte Form der Multiplicatoren auf unendlich 

 viele verschiedene Weisen durch andere Formen ersetzt werden könne. Die für ein System 

 von zwei Gleichungen in §. 6 gegebene Form der Multiplicatoren stimmt mit der hier gege- 

 benen vollkommen überein. 



Man kann ohne viele Schwierigkeit einsehen , dass die hier gelehrte Transformation, an 

 einem Systeme von Gleichungen vorgenommen, dessen Determinanten D einen grössten ge- 

 meinschaftlichen Factor ^ besitzen, der aber in den Grössen K fehlt, niclit mehr ausführbar 

 sei, ohne einigen der Gonstanten 1^ , 2,,' , . . . »/ der transformirten Gleichungen gebrochene 

 Werthe zu ertheilen. In der That, denkt man sieh die Multiplicatoren dermassen gewählt, 

 dass ihre Determinante [piP-iPi. . 2^><\ gleich — wird, so werden die Determinanten D' und Iv 

 des transformirten Systemes zu den früheren in der Relation : 



D' = i^ , K'^^-^ 



stehen. Die erste dieser Divisionen lässt sich ausführen, weil die Grössen D den Factor ^ be- 

 sitzen und folglich erhalten alle Determinanten D' einen ganzen Zahlwerth; allein — ist ein 

 wirklicher Bruch, oder, deutlicher gesprochen, nicht alle Grössen K sind durch ^ theilbar 

 und demnach werden mindestens einige der Grössen K' im transformirten Systeme gebrochene 

 Werthe erlaneen. Nun g-eht aus den früheren Erg-ebnissen hervor , dass die Wahl der Multi- 

 plicatoren jj stets so eingeleitet werden könne, dass alle Coefficienten der transformirten Glei- 

 chungen ganze Werthe erlangen, weil für diese genau dieselben Umstände obwalten, wie 

 früher. Nur die Constanten: 1/ , 2/ , 'd,^ , . . . %' machen hievon eine Ausnahme, und weil 

 die aus ihnen gebildeten Grössen K', zum mindesten einige derselben gebrochene Werthe er- 

 langen, so müssen die Zahlwerthe dieser Constanten oder wenigstens einiger derselben wirk- 

 liche Brüche sein. Es ist demnach die Ausführbarkeit der obigen Transformation an die 

 Bedingung gebunden, dass dei- Factor ^ gleichzeitig in allen Grössen D und K erscheint. 



