Ubei- (h'o AtißösitiH] eines Sy.'itemes mn mehreren unhesflmmten Gleirhinujvn. cfr. 1Ü3 



§.28. 



Nadiilcni iliose zwei Ililfssätzo entwifkclt worden, wollen wir unser Aun'ennierk dein 

 eigentlichen Probleme wieder zuwenden. 



Das Hauptaugenmerk nuiss darauf gerichtet bleiben, für die Bestimmung der überschüs- 

 sigen (irössen eine Keilie von gewöhnliehen Congruenzeii mit je einer Unbekannten, oder, 

 was dasselbe ist, von gewöhnlichen unbestimmten Gleichungen mit nur zwei Unbekannten 

 aufzustellen, deren Auflösung der Reihe nach ihre Werthe liefert. Es ist dies im Grunde der 

 analoge Gang, wie bei den Systemen von mehreren bestimmten Gleichungen; auch dort 

 sucht man eine Reihe von Gleichungen mit nur je einer einzigen Unbekannten abzuleiten. 

 AVir trachten daher das gegebene System von n Gleichungen mit m Unbekannten durch ge- 

 eignete Transformationen so zu verwandeln , dass sich für die Unbekannte x^ eine gewöhn- 

 liche Congruenz oder eine unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten aufstellen lässt, zur 

 Bestimmung der übrigen m — 1 Unbekannten aber ein System von n Gleichungen fortbesteht. 

 Dies erreicht man auf folgende Weise: Man bilde vermittelst einer schicklich gewählten 

 Multiplicatorengruppe, ein neues System von ?z Gleichungen auf bekannte Weise, in welchem: 



(27) 1/ = 2/ = 3/ = ..... = («-!)', = 



sind und nur 7i^ einen von Null verschiedenen Werth besitzt. Von den neuen Gleichungen 

 sind dann die ersten n — 1 von x^ frei und nur die letzte enthält Xj. Fragt man nun, welche 

 Bedingungen die Unbekannte x^ zu erfüllen hat, auf dass für ganze Zahlwerthe dieser Grösse 

 auch die übrigen Unbekannten ganze Zahlwerthe erhalten können, so hat man zunächst nur 

 eine einzige Gleichung zu berücksichtigen, nämlich eben die letzte : 



• (28) n; X, + n.: a'^ + ^z/ ajg + n„_, x„,_, + nj x,„ = «; 



weil sie die einzige ist, welche x.^ enthält. Setzen wir : 



(29) n.: X, -^ ;?,' x., A^ -^ n,;, 'x,,. = xl 



so ijeht sie über in : 



'/t 



(30) «,' a?i + x; —n^ 



Diese ist eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten cc/ und 

 u^], welche zu den Werthen von x^ führen wird. Ausser dieser liegen aber noch die fol- 

 genden 11 vor, die aus der (29) und den n — 1 ersten der (7) zusammengestellt sind: 



lo ^2 ~r -"^S -^Ä I 1 -l-w '^m ^k 



3 -<?. I T^ -"m •'-m -'k 



"2 -^a ~r "3 "^'3 "T" T ^ m ^'m "^/, 



(31) '•i x-i -^ u-^ Xf^ -^ -[- ..,,„ .<:,„ — ^,. 



(«— 1); x._ +(»—1)3' x-3 + + (;?— 1)„; x„„ = {n—\),: 



«1' a^i -r n: x.^ + 7i.^ a?,, + -i-- n„; x„, = x,' 



Solehersrestalt ist durch die angfeafebene Transformation luid Einführung" einer neuen 

 Unbekannten a:/ das ursprünglich gegebene System von n Gleichungen mit m Unbekannten 

 verwandelt in die (30) und (31), also in J^ -)- 1 Gleichungen mit ?« -|- 1 Unbekannten, von 



