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denen die (30) eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten vorstellt. 

 Denkt man sich mit der Auflösung derselben den Anfang gemacht und den Werth von a;/ in 

 die letzte Gleichung der (31) substituirt, so ist dieses System von n Gleichungen nur noch mit 

 )n — 1 Unbekannten versehen. Durch das hier eingeschlagene Verfahren vermindei-t man 

 ilalier in dem ursprünglichen Systeme von Gleichungen die Anzahl der Unbekannten von m 

 auf m — 1 und findet zur Bestimmung der herausgeschafften Unbekannten x^ eine gewöhnliche 

 unbestimmte Gleichung mit nur zwei Unbekannten. 



Wir gehen nun daran, folgenden Satz zu erweisen: Wenn die Determinanten D 

 des ursprünglichen Systemes keinen gemeinschaftlichen Factor besitzen, 

 der von Eins verschieden ist, so lassen sich die M ultiplicatoren p immer 

 dermassen wählen, dass auch die Determinanten des transformirten Syste- 

 mes (31), welch e wir durch das Symbol D' anzeigen wollen, keinen von Eins 

 verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen; alle in i h nen e rs cheinen- 

 den Co effi cienten und Constanten ganze Werthe erhalten und die unbe- 

 stimmte Gleichung (30) in ganzen Zalilen nach x'/ und cCj aufgelö s t w erd en 

 kann. 



Die Gleichungen (31) unterscheiden sich in ihren Coefficienten von jenen (7) nur im 

 gänzlichen Mangel der mit dem Stellenzeiger 1 versehenen Glieder. Ihre Determinanten sind 

 somit von jenen des Systemes (7) nicht verschieden, nur mangeln alle mit dem Stellenzeiger 1 

 versehenen. 



Zufolge der früher erwähnten Relation sind die Detei^minanten D' sämmtlich den corre- 

 spondirenden Determinanten D des ursprünglichen Systemes proportional und gehen nament- 

 lich durch Multiplication derselben mit der Multiplicatoren-Determinante P hervor. Bezeichnen 

 wir, den grössten gemeinschaftlichen Theiler aller jener Determinanten D, welche keinen 

 Stellenzeiger 1 aufweisen, d. h. nach dem Weglöschen aller durch das allgemeine Symbol 

 [Ij 2^ 3j. 4,5 . . . «,] voi'gestellten Determinanten aus der ursprünglichen Determinantengruppe 

 übrig bleiben mit ^'i ; so werden offenbar die Determinanten D' des transformirten Systemes 

 (336) den grössten gemeinschaftlichen Factor f^V besitzen, wenn ^jP einen ganzen Zahl- 

 werth erhält. Soll nun der oben aufgestellte Satz giltig sein, d. h. soll in den Determinanten 

 dieses Systemes kein Factor gemeinschaftlich erscheinen, so muss: 



i 



i 



(32) i^i -P = 1 ^^^ P = 



1 



sein. Dass dies für ganze Werthe der Multiplicatoren |> niemals geschehen könne, ist für sich 

 klar, weil dann auch P einen ganzen Zahlwerth erlangt. Also nur gebrochene Werthe und 

 zwar zum mindesten einiger, wenn nicht aller Multiplicatoren ^, werden dieser Bedingung 

 entsprechen können. Aber nicht alle gebrocheneu Werthe^, welche dieser Bedingung (32) 

 Genüge leisten, sind darum schon brauchbare Multiplicatoren, denn im Allgemeinen sind dann 

 auch alle oder doch die meisten der Coefficienten IJ , 2„' , . . . «„' ; 1/ , 2/,' , . . . n,^ zufolge der 

 Relation (8) gebrochene Zahlen und es werden demnach die beiden anderen Bedingungen 

 unerfüllt bleiben. 



Alle in den Gleichungen (31) erscheinenden Coefficienten und Constanten sollen nämlicii 

 ganze Zahlen sein, so dass also von all' diesen Grössen nur die folgenden: «,„' und «/ gebro- 

 chene Werthe erlangen dürfen. Weil aber auch die unbestimmte Gleichung (30) durch ganze 



