108 Ignaz Heger. 



alle durch f.^ theilbar; folglich sind nj , ??/ , • • • nj sämmtlich mit ganzen Zahlwerthen ver- 

 sehen. Nur n,' lind %' machen hievon eine Ausnahme. Man hat für .v=l der Gleichung (39) 

 zufolge : 



und mit Rücksicht auf die Relation (34), welche die Grössen f^,:„_.,^-,rn-A,. ..m .^r zu erfüllen haben: 



I 



(40) <=f(-i; 



»— 1 



Hier ist nun unmittelbar ersichtlich, dass ??/ ein wirklicher Bruch sei, weil ^, und ^j 

 ihrer Bedeutung nach relative Primzahlen sind. In der That findet man diese zwei Zahlen auf 

 folgende Weise : Man trennt die sämmtliehen Determinanten D des ursprünglich gegebenen 

 Systemes in zwei Gruppen: in eine erste Gruppe, welche alle jene Determinanten in sieh 

 begreift, in denen ein Stellenzeiger 1 erscheint, und in eine zweite Gruppe, in welcher dieser 

 Stellenzeiger 1 fehlt. Nun sucht man den grössten gemeinschaftlichen Theiler für jede dieser 

 beiden Gruppen und findet so beziehungsweise ^j und ^j. Da nun in der completen Gruppe 

 aller Determinanten D kein von Eins verschiedener Factor gemeinschaftlich erscheint, so 

 können auch die grössten gemeinschaftlichen Divisoren ^>^ und ^j keinen von Eins verschie- 

 denen Factor besitzen; <p^ und cp, sind demnach relative Primzahlen und der Bruch — kann 

 nicht weiter abgekürzt werden. 



Gleiches gilt von ?2/, gegeben durch die Formel: 



(41) «',= -^=^Ä[1,2_3.„_,4_, («-!),%] ^..,_=. .„_3,.,...,.- 



Auch hier lässt sich die Division durch ^j wenigstens in den meisten Fällen nicht ausführen. 



Fasst man nun das bisher Abgeleitete zusammen, so überzeugt man sich, dass in den 

 transformirten Gleichungen alle Coefficienten und Constanten ganze Zahlwerthe erlangen mit 

 Ausnahme der zwei: 5«/ und %', welche beide (oder wenigstens die erste derselben) Brüche 

 sind mit dem Nenner f^. 



Wir schreiten nun zinn Beweise, dass die Determinanten des neuen Systemes (31) keinen 

 von Eins verschiedenen Factor besitzen. Dies darzuthun gelingt am einfachsten durch Betrach- 

 tung der Werthe (36) und (40). Da alle in (36) aufgeführten Coefficienten NuUwerthe erhal- 

 ten, mit Ausnahme der letzten Diagonalreihe , so folgt , dass die aus den ersten n Vertical- 

 reihen der Coefficienten des transformirten Systemes gebildete Determinante: 



[1/2; 3/4/ .... (,^_l)'„_,<] = i;.2'„_,.3'„_,.4'„_3 .... {n-iy . < 



sei. Substituirt man nun in den zweiten Theil dieser Gleichung die gefundenen Werthe (36) 

 und (40), so erhält man: 



[h 2ä 33 . . . . (n— l)n-l««] 



(42) [1/2,' 3; 4/.. ..(„_1)'„_,<]=± 



<?! 



Diese zwischen zwei correspondirenden Determinanten des ursprünglichen und des neuen 

 Systemes stattfindende Relation ist auch für alle übrigen Determinanten giltig und überzeugt 

 uns, dass die Multiplicatorendeterminante P= ± — ist. Der in den ursprünglichen vom Stel- 

 lenzeiger 1 freien Determinanten D erscheinende grösste gemeinschaftliche Factor fj fällt 



