ZJher die Auflösung eines Sy Siemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 109 



ilomnach (ImitIi diese Transformation heraus, und ilie Detenninanten des neuen Systemes 

 (31) siiui von jedem gemeinschaftlichen Factor befreit. Also aucli diese Bedingung ist 

 erfüllt. 



I']s bleibt noch übrig , zu zeigen , dass auch der letzten Bedingung Genüge geleistet sei, 

 d. Ii. dass die unbestimmte Gleichung (30) ganze Auflösungen besitzt. Diese Gleichung ge- 

 winnt durch Substitution der Werthe (40) und (41) und durch WegscliaÜen des Neuners ^, 

 die Form : 



(43) <f, x; + (p, X, = A,;. 



wo : 



(44) yi;=Ä{[l,2.„_,3,„^ («-1).,«.]^^.„_., .„_,,.., .,,.! 



eine ganze Zahl ist. Hier zeigt nun der unmittelbare Anblick, dass diese unbestimmte Glei- 

 chung ganze Auflösungen besitze, weil die Coefficienten (f^ und cf^ relative Primzahlen sind. 

 Es sind folglich alle Bedingungen erfüllt, welche im Vorhergehenden aufgestellt wurden. 



Durch die hier auseinandergesetzte Transformation zerfällt das ursprünglich gegebene 

 System von n Gleichungen in eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit nur zwei Unbekannten 

 und in ein System von n Gleichungen mit einer um Eins geringeren Anzahl von Unbekannten. 



Denkt man sich die unbestimmte Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst und den gefun- 

 denen Werth von x^ in die letzte der Gleichungen (31) substituirt, so hat man nun abermals 

 n Gleichungen vorliegen, aber mit nur m — 1 Unbekannten, deren Determinanten gleichfalls 

 keinen gemeinschaflichen Factor besitzen. 



§• 29. 



Diese Transformations weise lässt sich wiederholen bei den Gleichungen (31), denn sie 

 erfüllen dieselben Bedingungen, welche bei dem ursprünglichen Systeme obwalten. Man wird 

 also abermals eine Unbekannte z. B. x., herausschaffen und zur Bestimmung derselben eine 

 gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten: x.^ und einer Hilfsgrösse x^ fin- 

 den, den gefundenen Werth von x.^ in das hervorgehende transformirte System : 



-■■3 ^'3 ~r -^4 ^-1 ~r + ^m '^m ^^^ ^k 



(45) 23" X, + 2;' X, + + 2,;' x,„ = 2," 



TO," .Tg ^ 71," x„ + -\- n„" x,„ = X,; 



setzen und so nur noch w — 2 Unbekannte in dem Systeme zu bestimmen haben. Da die 

 Determinanten der abgeleiteten Systeme frei bleiben von einem gemeinschaftlichen Factor, 

 so lässt sich diese Transformation so lange wiederholen, als das System mehr als n Unbe- 

 kannte enthält. Durch eine hinlänglich oft wiederholte Transformation gelangt man endlieh 

 zu einem Systeme von n Gleichungen mit nur n Unbekannten. Dieses bestimmt die Werthe 

 der übrig gebliebenen Unbekannten. Nun lässt sich leicht die Überzeugung gewinnen , dass 

 die Determinante dieses Systemes von n bestimmten Gleichungen den Werth Eins besitzt, und 

 folglich sind alle daraus gezogenen Werthe der Unbekannten ganze Zahlen. In der That treten 

 bei diesen Wiederholungen der Transfoi-mation an die Stelle der Grösse ^1 der Reihe nach : 



