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<Pi ^ (p. , . . . 9^,„_„. Hier bedeutet ^i den grössten gemeinschaftlichen Theiler allei- vom Stel- 

 lenzeigcr 1 freien Determinanten, (f-^fi ist der grösste gemeinschaftliche Factor aller von den 

 zwei Stellenzcigern: 1 , 2 freien Determinanten, ^j f , f s ist der grösste gemeinschaftliche 

 Factor aller von den drei Stellenzeigern: 1,2,3 freien Determinanten, endlich ^] f o ^3 . . . f ,„_„ 

 ist der grösste gemeinschaftliche Factor der von den Stellenzeigern 1,2, 3, ...m — n freien 

 Determinanten. Da aber nur eine einzige solche besteht, näudich die: 



'b^ 



\[m — •?^4-l)l(W' — w.+ 2)2(to — ^+3)3 . . . toJ 



so ist diese eben der Werth des Productes <fi f.^ <f., . . . f„,_„. 



Bei den vriederholten Transformationen geht diese Determinante über in andere, die 

 durch Division durch ^j , f^,, , . . . cr,„_„ hervoi'gehen. und nach der allerletzten Transformation 

 ist sie gevForden : 



[(m — n + 1), ()« — » + 2)2 m„] 



<P\ ?2 fiii—n 



Das zuletzt erhaltene System von n Gleichungen mit n Unbekannten: 



1 (in— n) ^ 1-1 (m—n) ,„ |^ i 1 (m— n) 1 [m—n) 



^m—n+\ •*'m— w+1 ~r ■■■ <«— »+2 •*-m— .i+2 r 1 J- m •'■ m ^k 



I X(\\ '> ("'—") rf. _L O (iK— n) -y. 1 I 9(m— n) „ i)("'— ") 



1 ■*"-'! -',„_,j_|_i •^,„,—n-'t-l 1 -'m—H+2 •*'w— ?!+2 \^ . -'ni ■*-»! -^ Ic 



{m—n) 1 (m— n) _, _. ..{m—n) , ^(m— ") 



., (m— 11) . 1 ,,, (M— n) ,j. j^ 1^ (m— n) , i 



"m— ii+1 -<^<«— u+1 ~r ''»1—»+!; '<^M— ii+L' T" "r '*m ■*■)(, — ■»- 



k 



besitzt demnach die Determinante Eins undliefert folglich lauter ganze Werthe der Unbekannten : 

 Da nun auch die übrigen Unbekannten : 



l*.' 1 ^ tAJi} a «^•J » . • . • t^'. 



m — » 



deren Werthe aus gewöhnlichen unbestimmten Gleichungen mit nur zwei Unbekannten, oder, 

 wenn man will, aus Congruenzen des ersten Grades mit je einer einzigen Unbekannten her- 

 vorgehen, gleichfalls ganz sind, so ist der früher aufgestellte Satz bewiesen, dass jedes 

 System von unbestimmten Gleichungen, dessen Determinanten I) keinen 

 Factor gern einschaflich besitzen, ganze Auflösungen zulasse. 



Die Auflöslichkeit eines Systemes von Gleichungen in ganzen Zahlen besteht aber auch 

 dann noch, wenn die Determinanten D einen von Eins verschiedenen Factor ^ gemeinschaft- 

 lich besitzen, derselbe jedoch auch in allen Grössen K erscheint, denn in diesem Falle kann 

 man nach der in §. 33 auseinandergesetzten Methode alle Determinanten D und Grössen 

 K von diesem Factor f befreien und gewinnt so ein äquivalentes System, das dem eben Bewie- 

 senen zufolge ganze Auflösungen besitzt. 



Erscheint aber in den Determinanten D des Systemes ein Factor (p^ gemeinschaftlich, der nicht 

 in allen Grössen K erscheint, so bestehen keine ganzen, sondern nur gebrochene Auflösungen, 

 und wenn (p,. das Product aller in D erscheinenden, aber in K fehlenden Factoren ist, so stellt 

 (fi, zugleich den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner der Werthe der Unbekannten vor, welcher 

 überhaupt möglich ist. Man kann sich hievon sehr leicht auf folgende Weise überzeugen. 

 Man transformire vermittelst des in §. 33 angegebenen Vei-fahrens das vorgelegte System, 

 so dass die Determinanten D von dem in ihnen erscheinenden Factor <f^. befreit werden. 



