über die Auflösung eines Systemes ron mehrere)/ unbestimmten Gleichungen etc. 1 1 1 



|)ie Coöffieienten der transforrairten Gleichungen werden sHnimtlich ganze Zalilwerthe. 

 aber die Constanten : 1/ , 2/ , . . . n^ entweder alle, oder doch wenigstens einige derselben 

 gebrochene Werthe erhalten, weil aiuli die Grössen K gebrochen sind. Diesem Systeme nun 

 kann man offenbar durch keine ganzen Zalilwerthe der Unbekannten mehr geniigen, sondern 

 nur durch gebrochene und namentlich mit dem gemeinschaftlichen Nenner (p,. versehene. 

 Dass aber solche Brüche wirklich Genüge leisten, erhellt augenblicklich, wenn man statt der 

 Unbekannten a", , x.^^ , ;r, , • • • •<',„ neue einführt: 



Ii lo 13 Xm 



fk ' <pi! ' P* ' <pk 



Bi'i'roh man vom Nenner ^/., so erhalten alle Constanten 1,. , 2^. , 3,, , . . . n^ den Fac- 

 tor ^-; und folglieh auch die Grössen K. Es erscheinen somit alle gemeinschaftlichen Factoren 

 der Determinanten D auch in den Grössen K und demnach verstattet dieses neue System 

 ganze Zalilwerthe der Grössen ;l'i . ;i:2 , ;Cs , . • • ;c,„. 



Hieraus lässt sich folgender allgemeine Satz zur Beurtheilung des Bestehens oder Nicht- 

 bestehens ganzer Auflösungen ableiten. 



Wenn die Determinanten D eines Systemes von beliebig vielen unbe- 

 stimmten Gleichungen einen grössten gemeinschaftlichen Facto r/b esitzen, 

 in den Determinanten D und Grössen K zusammengenommen aber nur der 

 gemeinschaftliche Factor i^ erscheint, so entscheidet derAVerth desQuotien- 

 t e n ^ = ^'i, welcher immer eine ganze Zahl ist, über das Bestehen ganzer 

 oder gebrochener Auflösungen. Ist der Werth dieses Quotienten gleich 

 Eins, so sind ganze Auflösungen wirklich vorhanden; ist hingegen sein 

 Werth von Eins verschieden und gleich 'Ji, so bestehen keine ganzen Auf- 

 lösungen, sondern nur g e b r o c h e n e . u n d 9t i s t d e r k 1 e i u s t e z u 1 ä s s i g e g e m e i n- 

 scliaftli <■ h e Nenner dieser Brüche. 



§. 30. 



II. Über das Aufsuchen einer s p e c i e 1 1 e n A u f 1 ö s u n g. 



Mit der hier angegebenen Transformation ist nicht blos die Frage über das Bestehen 

 oder Nichtbestehen ganzer Auflösungen, sondern überhaupt das Problem der wirklichen 

 Auflösung vollständig erledigt. Sie zerlegt das ursprünglich gegebene System so zu sagen 

 in seine Elemente, nämlich erstens in eine Reihe von gewöhnlichen unbestimmten 

 Gleichungen oder Congruenzen des ersten Grades, welche zur Bestimmung der m — n 

 überschüssigen Unbekannten: sc^ , x., , x^ , . . . x„,_„ und der Hilfsgrössen x"/ , x.! , x'., . . . . ic'„,_„ 

 dienen und zweitens in ein System von n bestimmten Gleichungen, welche die Werthe der 

 übrigen Unbekannten : a:;„,_„^i , x,„_„^.^ ? • • • '^m liefern. Wenn aber auch hiemit von theore- 

 tischer Seite das Problem als vollständig gelöst erscheint^ so bleiben dennoch die Anfor- 

 derungen des praktischen Rechnens nocli unbefriedigt, da die bisher gegebenen Formeln keine 

 bequeme Anwendung verstatten. Diesem Gesichtspunkte entsprechend werden wir die 

 Formeln umstalten, wobei wieder das einfache bereits erledigte Problem von nur zwei 

 Gleichungen als Richtschnur dienen wird. 



Hier stellen wir uns die Aufgabe, die früher durch Wiederholung eines und desselben 

 Transformations - Verfahrens abgeleiteten Gleichungen jetzt direct aus dem ursprünglichen 



