tJber die AnflösiDig cnics Si/stemcs roii mehreren unhestimmten Gleichungen etc. 1 1 '» 



Es ist also tlio erste der vorerwähnten liecliiiguiiyen (52) wli-klidi erfüllt. 

 Zweitens: W(>nn man st=u -\- p — r setzt, so findet man aus der (54): 



/,.+._= ^^T^ ■S{[lA+i3.+2- ••(«—>•+ 1),^„_.(«— r-t-2),^ nAO,^ . J 



und mit Rüeksielit auf die Bedingungsglcichung (51), welche für die getroffene Wahl der 

 (irössen 6 identisch erfüllt sein muss: 



(57) r'„^,_. = (-l)"-'f'' 



' p , p+i , .... 11+11 — r 



und aus der (55) ergibt sich für s=jj und mit Zuhilfenahme der letzten der Gleichungen (51) : 



,,; = (- 1)- l 



Diese Formeln liefern die Werthe nachfolgender Cocfficienten der transformirten (llei- 

 cliungen, welche in einer Diagonale angeordnet sind: 



(58) »; = (-ir'lr'i"-i)V+. = (-ir'f'v,.+n(«-2)',+, = (-i)"-'5/- 



9f 



p , p+1 , p+-i , 



2'„+,_2 = («— l)„_i5^,,.. 



n+p—2 



1' , IV ,/, , 1 yi-i [IpVmVi-2. . . ».o+«-i ] 



'P-Pl-<P2---VP~-'-'l'p-'f'p,p+l ...(pp p+71-2 



Drittens: Ertheilt man dem Stellenzeiger s im allgemeinen Cocfficienten rj und «,' andere 

 Werthe, als die hier betrachteten, die aber in der Reihe der Zahlen: /> -f 1 , p -\- 2 , ... m 

 enthalten sind, so erhält man sowohl aus der Formel (54) als aus der anderen (55) lauter ganze 

 Zahlen als die Werthe der Cocfficienten ?■/ und nj. In der That sind dann alle unter dem 

 Summenzeichen erscheinenden Determinanten in (54) von den Stellenzeigern 1,2,3... 

 p — 1 frei, schliessen hingegen p , /> + 1 , p -{- 2 , ... n+p — r — 1 in sieh und werden 

 dernnach durch den Nenner im Ausdrucke (54) theilbar sein. Dessgleichen lässt sich die im 

 Ausdrucke (55) angezeigte Division wirklich ausführen , weil die unter dem Summenzeichen 

 erscheinende Determinante keinen der Stellenzeiger: 1 , 2 ,?>,... p — 1 . p enthält. 

 Hieraus folgt nun, dass alle nachfolgenden Co(?'fficienten ganze Zahlen erlangen: 



^ p+n 1 -*• /)+»+! • ■ • • • -l- » 



O' O/ q/ O' O' 



•-" p+)i—2 1 ^ p+n—i 1 "^ p+n J *-" p+)i+\ ^ • • • • '^ 1, 



(59) ">' ">' '>' '^ 



^ p+l 1 '^ p+2 , ■ • ■ • n p-^.n—2 , ?^p_)_„_i , 'fip^n 1 '^p-f-H+l , . . . . « ,„ 



fügt man zu diesen noch die gefundenen ganzen Werthe der Cocfficienten in (56) und (58) 

 hinzu; so sieht man alsogleich, dass auch der zweiten Bedingung Genüge geleistet sei, d. h. 

 alle Cocfficienten der Gruppe (53) ganze Werthe erlangen. 



Nun ist noch der Beweis herzustellen, dass die aus dieser Gruppe von Cocfficienten (53) 

 hervorgehenden Determinanten, keinen gemeinschaftlichen Factor besitzen. Bekanntermassen 

 sind die neuen Determinanten proportional den ursprünglichen und da die aus der Gruppe 

 (53) hervorgehenden Determinanten beim ursprünglichen Systeme nur den Factor: ^ ^j ^., 



fp gemeinschaftlich besitzen, so genügt es, zu zeigen, dass irgend eine Determinante 



des neuen Systemes veruiittelst Division durch ± ^ ^, ^r, ^^ aus der correspondirenden 



p* 



