über die Auflösung eines Systemes rou vie]irere)h i(i//>c.s//))i.»)f(')/ Gleichungen etc. 11' 



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Um nun zu zeigen, dass diese unbestimmte Gleichung ganze Auilösungen besitze, wäre 

 es nothwendig, den Beweis herzustellen, dass der im zweiten Theile erscheinende Bruch durch 

 eine zweckmässige Wahl der Grössen Xi , x., , . . . Xp_i sich in eine ganze Zahl verwandelt. 

 Wir können aber hier diese Beweisführung übergehen, da die früheren Untersuchungen diese 

 Behauptung als richtig dargethan liaben. 



Bei dem früher geführten Beweise, dass eine jede Gleichung, deren Determinanten D 

 keinen gemeinschaftlichen Factor besitzen, der nicht auch in allen Grössen K vorlianden wäre, 

 ganze Auflösungen besitzt, gelangten wir Schritt für Sehritt zur Überzeugung , dass der im 

 zweiten Theile der unbestimmten Gleichungen erseheinende Ausdruck sich in eine ganze Zahl 

 verwandelt, wenn man die Werthe der bereits ermittelten Hilfsgrössen ic/ , er./ , x^ , .... 

 hineinsetzt. Hier erscheinen im zweiten Theile der Gleichungen statt dieser Hilfsgrössen die 

 ursprünglichen Unbekannten und aus diesem Grunde ist die Beweisführung erschwert. Aber 

 die früher gewonnenen Ergebnisse genügen hier. In der That wurde früher erwiesen, dass 

 das ursprüngliche System für ganze Zahlwerthe der Unbekannten erfüllt werden könne. 

 Die hier ausgeübte Transformation liefert aber ein vollkommen gleichgeltendes System, 

 indem die Determinanten von Null verschieden ausfallen, wie an der einen gebildeten Deter- 

 minante (60) sich zeigte. Demnach muss dieses System erfüllt w^erden, wenn man statt der 

 Unbekannten und der Hilfsgrössen jene ganzen Zahlwerthe setzt , welche das ursprüngliche 

 System erfüllen, und folgKch muss für diese Werthe auch die Gleichung (61) und die daraus 

 abgeleitete (65) sich in eine identische verwandeln. Für ganze Werthe von x^ und x^ aber 

 verwandelt sich der erste Theil der Gleichung (65) in eine ganze Zahl, folglich muss sich 

 auch der zweite Theil in eine ganze Zahl verwandeln , wenn man die Grössen x^ , a;., , . . . ;r^_i 

 durch geeignete und ganze Zahlwerthe ersetzt. Solche bestehen immer. Sobald aber 

 der zweite Theil dieser Gleichung eine ganze Zahl ist, gleichgiltig welche, ist dieselbe in 

 ganzen Zahlen auflöslich, weil ^^ und (p^ relative Primzahlen sind. Dies wird genügen , um 

 sich zu überzeugen, dass die Multiplicatoren (48) mit einem einzigen Schritte gerade dorthin 

 führen, wohin früher eine p malige Transformation geführt hat. 



§• 31. 



Die gewonnenen Formeln, in denen die willkürliche Zahl/> erscheint, sind sehr bequem, um 

 unmittelbar die Eeihe von unbestimmten Gleichungen hinzustellen, wie sie durch die früher 

 erörterte Transformation sich der Reihe nach ergeben. Man braucht nur statt der Zahl p der 

 lieihe nach 1,2,3,... m — n zu setzen. Die Reihe der unbestinmiten Gleichungen ist dem- 

 nach folgende : 



(f.,x: + (— 1 )""' d'-: . X, = — [-1;' — A," ./•,] 



Ißii) y, X.; + (— 1 )"-' (p, . X, = -^ [.4,'" — A,'" .r, — A.;" X,] 



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