TJber die Auflösung eines Systeme,^ von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 121 



I (m — n) {m—n) {m—n) {m—n) 



■ f „,-,. X,„-„ + (— 1 )"-' <p,n-n • ?-•„,-„ = — [^1, 9J — Ä, ;c, — A.^. — ....~ ^„,_„+, jc„._,.^, J. 



^''-'-^'= |..,.-nH-.W.. ■■■«„.] i[l^-^''--+^ «„,]9{-[l,2,„_„^, ,^,„]^.,_..._ 



L '"— " ''m— 11+2 "mj }-m—n] 



(71) ^•,„_„+,. = [i„,_„+io„_„^,....„„,] U^* 2m-«+i 3,„_„^.3 . . . ?^,„] 5J — [ 1 , 2,„_„+, 3„,_„^3 . . . »,„] ^, — ... — 



L "' — « "^m — >l + l »^ »1-11+3 • ■ • '*;iij ^m-nj 



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In dieser Gestalt sind die Formeln geeignet, die in der (69) erscheinenden Grössen 



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r, , ;l',, , . . . f,,, u. s. w. zu bestimmen. Man erhält jede Verticalreihe von Cocfficienten oder 

 Constanten in der (69) für sich durch eine gesonderte Auflösung dieser Congruenzen und 

 Gleichungen. Die in der ersten Verticalreihe erscheinenden Grössen jCj ,;:,,,. . ^,„ stellen eine 

 specielle Auflösung des vorgelegten unbestimmten Systemes in ganzen Zahlen vor. Man er- 

 hält sie aus den Congruenzen (70) und Gleichungen (71), wenn man 91^1 setzt. Dabei thut 

 man gut, die numerisch kleinsten Werthe von ^j , p_,... ):,„_„ zu suchen, um die Eechnungen 

 nicht unnützer Weise zu compliciren. Die zweite Verticalreihe von Grössen in (69) nämlich: 

 }^i ^ hl h : • ■ ■ i"> 61*11^1* man vermittelst der Annahme 91 = 0, wenn man noch überdies dem 

 r , den numerisch kleinsten und von Null verschiedenen Werth ^^ ertheilt, dessen diese Grösse 

 für 9i = fähig ist, zufolge der ersten Congruenz in (70). 



Die dritte Verticalreihe von Grössen: ):., , p^ , . . . ^„, geht gleichfalls aus (70) und (71) 

 hervor, wenn man von der Anfangssubstitution 9Z = , ^==0 ausgeht und h^^-i setzt, wo- 

 durch die zwei ersten Congruenzen in (70) sich in identische verwandeln. Allgemein findet 

 man die Grössen ^•,. , j.v^i , j:,_,_o , . . . ;l;„, wenn man von den Anfangssubstitutionen 91^0, 

 j:i = , ;i:2 = , ;i:3=0 , . . . ;c,._i = ausgeht, wodurch mehrere Congruenzen (70) am Anfange 

 stehend, identisch erfüllt werden. Aus den übrigen folgen die Werthe der gesuchten Grössen, 

 wenn man für f,. den numerisch kleinsten von Null verschiedenen Werth f^ annimmt. 



Hat man alle in der Formel (69) erscheinenden Grössen ermittelt, so unterliegt ihre Auf- 

 stellung keiner weiteren Schwierigkeit mehr. 



Hiemit ist also das Problem der Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten 

 Gleichungen mit einer beliebig grossen (selbst einer unendlichen) Anzahl von Unbekannten, 

 sowohl in ganzen Zahlen, als in gebrochenen Werthen mit einem bestimmten Nenner A^ voll- 

 ständig erledigt. Die auseinandergesetzte Methode ist auch anwendbar, um ein System von 

 mehreren Congruenzen des ersten Grades mit einer beliebig grossen Anzahl von Unbekann- 

 ten und völlig beliebigen Modulis aufzulösen, und somit ist das von Gauss behandelte 

 Problem (Disquisitiones arithmeticae pag. 26 — 30) hier in einer viel allgemeineren und voll- 

 kommeneren Weise erledigt. 



Denkschriften der mathem.-nalurw. Cl. XIV. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. 



