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J. A. Grunert. 
und 
V [jii' — (i* X|‘ = sin Tc a, cos ö, sin (p — sin 5, cos f sin IS T) 
— sin TT, (sin a cos 8 sin cp — sin o cos cp sin 1 S T) 
-f- sin a cos ö sin o, — sin ot, sin o cos o, 
= (sin TT sin oc, cos ö, — sin tt, sin a cos ö) sin cp 
—- (sin TC sin o, — sin tc, sin ö) sin IST" cos cp 
- 1 - sin a cos o sin o, — sin cx, sin o cos S, , 
[j.' X,' — x‘ fl,' = — sin TC (cos cc, cos o, sin cp — sin o, cos cp cos IS T) 
+ sin TC, (cos a cos o sin cp — sin o cos cp cos IS ’T) 
— (cos a cos 0 sin 3, — cos a, sin o cos o,) 
= — (sin TC cos cx, cos 8, — sin tc, cos a cos o) sin cp 
4- (sin TC sin o, — sin tc, sin o) cos IST" cos cp 
— (cos a cos 0 sin ö, — cos a, sin ö cos o,) 
/I- Xt* -j- [i.1' = 1 — 2 sin TC {sin o sin cp + o cos cp cos (« — IS T’)} 
= 1 -}- sin TC* — 2 sin tc cos 6, 
■x,i- -j- = 1 -f ~i* — 2 sin TC, {sin ö, sin cp -{- cos o, cos cp cos (a, — IS 7’)} 
= 1 + ^ OOS 0,. 
Setzen wir jetzt also der Kürze wegen: 
1 3) (A) = sin ~ cos o, cos cp sin (a, - — IS T) 
— sin TC, cos 0 cos cp sin (a — IS 7^ 
+ cos 0 cos 0 , sin ( cx — cx,), 
(^A) = sin TC (sin cx, cos o, sin cp — sin o, cos cp sin IS T) 
— sin TC, (sin a cos o sin cp — sm 8 cos cp sin 1S T) 
-I- sin a cos 8 sin 8, — sin a, sin 8 cos 8, 
= (sin TC sin cx, cos 8, — sin tc, sin a cos 8) sin cp 
— (sin TC sin 8, — sin tc, sin 8) sin 1 S T cos cp 
+ sin a cos 8 sin 8, — sin a, sin 8 cos 8,, 
so ist 
(AI) = sin TC (cos a, cos 8, sin cp — sin 8, cos cp cos IS J") 
— sin TC, (cos a cos 8 sin cp — sin 8 cos cp cos 1 S T) 
-f- cos o cos 8 sin 8, — cos a, sin 8 cos 8, 
= (sin TC cos a, cos 8, — sin tc, cos a cos 8) sin cp 
—- (sin TC sin 8, — sin tc, sin 8) cos IST” cos cp 
+ cos a cos 8 sin 8, — cos a, sin 8 cos 8,; 
14) sin A' = y". 
(A r + 
(1 + sin — 2 sin tz cos (1 + sin 7 :,^ — 2 sin - t , cos 
Bestimmt man sin A' nach der schon oben angedeuteten Methode aus der Formel 12) mittelst der 
Formel 
sin = y 1 — cos üi*. 
so erhält man einen anderen Ausdruck von sin A', den ich auch für hemerkenswerth halte, und daher, 
ohne die zu denselben führende etwas weitläufige Rechnung mitzutheilen, hier noch anführen will. 
