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J. A. Grunert. 
oder 
(Z?C, — C/?,) M = — ACt) K, iBCy — CB^) N = — BAi) K, 
_ AC^-) M = (C.1, — .4(7,) 1/, oder — JC.) iV = (^Z/, — 5yl,) d/, 
(yl5, — BA^) M = {CA, — A€,) N; {AB, — BA,) N = {AB, — BA,) N. 
iVIuliiplicirt man nun die Gleichung 
K cos P + 31 cos Q ^ ^os ZZ = 0 
nach und nach mit 
BC, — CB,, CA, — AC„ AB, — BA,-, 
so erhält man mittelst des Ohigen sogleich: 
A' \{BC, — CB,} cos P + {CA, — AC,} cos Q + {AB, — BA,) cos B\ =0, 
M {{BC, — CB,} cos P + {CA, — AC,} cos Q + (.4Z?, — BA,} cos Z?} = 0, 
N {{BC, — CB,} cos P + {CA, — AC,} cos Q + (.dZ?, — ZZ.4,) cos B} =0: 
woraus sich, in sofern A', 4/, iV nicht zugleich verschwinden, die Gleichung 
{BC, — CB,} cos P + {CA, — AC,} cos Q + {AB, — BA,} cos A = 0 
ergibt. 
Daher haben wir jetzt zur Bestimmung von cos P, cos Q, cos B die drei folgenden Gleichungen des 
ersten Grades: 
.4 cos P + A cos Q ^ C cos B = sin D cot D', 
A, cos A -j- A, cos Ö + C, cos B — sin D, cot A,', 
{BC, — CB,} cos P + {CA, — Jf’i) cos Q + (JA, - — BA,} cos B = ü. 
Will man aus diesen drei Gleichungen cos P bestimmen, so verfährt man am besten auf folgende Art. 
Wegen der beiden ersten Gleichungen ist: 
{AB, — A.4,) cos P — {BC, — CA,) cos B = B, sin D cot A’ — A sin I),cot A,‘, 
(AC, — CA,) cos A — (AC, — CA,) cos A = 0, 
((7.4, — - .4C,) cos P — (AC, — CA,) cos Q = — C, sin l) cot D' + C sin D, cot A,'. 
Multiplicirt man diese drei Gleichungen nach der Reihe mit 
ab, — BA,, BC, — CB,, CA, — AC, 
und addirt sie dann zu einander, so erhält man vermöge der dritten Hauptgleichung: 
i(.4A, — A.4,)^ + (AC, — CB,y + (C.4, — .4C,)^| cos P 
= {A, (.4 A, ^ A.4,) — C, (CJ, — .4C,)} sin D cot A‘ 
— {B {AB,—BA,} — C (C.4, — .IC,)} sin D, cot Ü,\ 
Ueherhaupt erhält man auf diese Weise: 
{ß, (ABt—BA,) - C, (C.4, — AC,)} siti D cot D' - {ß (Aß, —ßA,) — C (C.4, — A C,)} sinD, cot D,' 
cos 
p = 
cos Q = 
cos B = 
oder 
cos P — 
ros (J = 
cos B 
(Aß, — ßA,)- + (ßC,- 
{C, (ßC, — Cß,) — .4, (Aß, — ßA,)} sin ü cot IP 
CB,)^ + (CA, — AC,)- 
- {C(ßC, — Cß,) - A(Aß,-ßA,)} sin ß, cot ü ,' 
{4, (CA,-AC,) 
(Aß, — ßA,)- + (ßC, - 
ß, (ßC, — Cß,)} sin D cot D' 
CB,y- + (CA, — AC,)= 
- {A (CA,—AC,) — ß (ßC, — Cß,)} sinü, cot 
(Aß,—ßA,)- + (ßC,-Cß,)- + (CA, — AC,)^ 
{A (ß,ß, + C,C,) - A, (ßß, + CC,)} sin D cot ß* - {A (ßß, + CC,) -A, (ßß + CC)} sin ß, cot ß,' 
(AB,~BA,y + (ßC, 
{ß(C,C, + A,4,) — ß, (CC, + AA,)} sin 1) cot D' 
Cß,)“ + (CA,—AC,)“ 
{ß (CC, + AA,) — ß, (C C + A A)} sin ß, cot ß,' 
(Aß, — ßA,)“ + (ßC, 
SC(A,A, + B,B,) — C, (AA, + ßß,)} sin D cot D' - 
Cß,)“ + (CA,—AC,)“ 
{C (AA, + ßß,) — C, (AA + ßß) } sin ß, cot ß, * 
(Aß, — ßA,)“ + (ßC,-Cß,)“ + (CA,-AC,)“ 
