78 /. A. Grunert. Directe Bestimmung der Durchschnittspmikte der Bahnen 



offenbar {x — -ff+y' das Quadrat der Entfernung dieses Punktes von dem Brennpunkte, und 

 x^ ist das Quadrat seiner Entfernung von der Directrix ; also ist nach §. 1 



1) {x—fy- + i/^n'x'' 



die Gleichung des Kegelschnittes in dem angenommenen Systeme. 



Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchsclinitts2:)unkte des Kegelsclmittes mit der Axe 

 der X im Allgemeinen durch u, r; so haben wir zu deren Bestimmung nach 1) offenbar die 

 Gleichungen: 



('?«—;/)- -f v'- = n- ir. t' = 0; 

 woraus sich zur Bestimmung von u die Gleichung 



ergibt, aus welcher man unmittelbar u —f= ±nu erhält; also ist: 

 2) u^T-~.v = 0. 



' w + 1 



Wenn ?2=1 ist, liefern nur die unteren Zeichen für ?( einen endlichen völlig bestimmten 

 Werth, nämlich den Werth - /'. Wenn dao-cfien n ^ 1 ist, so liefern sowohl die oberen als 

 auch die unteren Zeichen für ti endliche völlig bestimmte Werthe. Wir sehen also hieraus, 

 dass die Axe von dem Kegelschnitte nur in einem Punkte, oder in zwei Punkten geschnitten 

 wird, je nachdem 7^ = 1 oder ?? ^ 1 ist. 



Die Punkte, in denen die Axe von dem Kegelschnitte geschnitten wird, heissen die 

 Scheitel desselben, und es gibt also nach dem Vorhergehenden nur einen Scheitel oder 

 zwei Scheitel, je nachdem n=l oder w ^ 1 ist. 



Wenn ?i = 1 ist, so ist die Entfernung des einen Scheitels, den es in diesem Falle nur 

 gibt, von der Directi'ix nach dem Vorhergehenden - /, hat also mit y gleiches Vorzeichen, 

 und der absolute Werth dieser Entfernung ist kleiner als der absolute Werth vony": also liegt 

 in diesem Falle der Scheitel zwischen der Directrix und dem Brennpunkte in dem Mittel- 

 punkte der Entfernung des letzteren von der ersteren. Wenn n ^ 1 ist, so ist die Entfernung 



f 

 des Scheitels, welcher der Directrix am näclisten ist, von der Directrix , hat also mit/ 



gleiches Vorzeichen, und der absolute Werth dieser Entfernung ist kleiner als der absolute 

 Werth von _/; also liegt der Scheitel, welcher der Directrix am nächsten ist, zwischen der 

 Directrix und dem Brennpunkte. Die I'-]ntferiiiing der Scheitel vom Brennpunkte ist offenbar 



_ _j_ /. "/ 



71+1 -^ H + 1 ' 



woraus sich ergibt, dass man für den Scheitel, welcher dem Brennpunkte am nächsten ist, die 

 unteren Zeichen nehmen muss, so dass also der Scheitel, welcher der Directrix am nächsten 

 ist, immer auch zugleich am nächsten bei dem Brennpunkte liegt. Die Entfernung des anderen 



Scheitels von der Directrix ist — , und hat also mit /' g-leiches oder unodeiches Vorzeichen, 



je nachdem n <C 1 oder ti > 1 ist. Für n <C 1 ist der absolute Werth dieser Entfernung, 

 welche mit y gleiches Vorzeichen hat, grösser als der absolute Werth vony, so dass also 



