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folglich die Gleichung der Hyperbel nach dem Obigen: 



26) (-f^] - i:^ = 1 oder x^ - y^ = 2/1 



Die Hyperbel wird in diesem Falle eine gleichseitige Hyperbel genannt. 

 Für diese Hyperbel ist nach 14): 



27) p = 2 r2 . val . abs ./, 

 also nach 25) offenbar^ = 2a = 2 i; und nach 17) ist 



28) e = 2 . val . abs .f, 

 wie auch aus 25) mittelst der Formel 19) folgt^). 



Wir wollen uns jetzt einen ganz beliebig im Räume liegenden Kegelschnitt denken, und 

 in Bezug auf ein beliebiges dreiaxiges rechtwinkeliges Coordinatensystem der xyz die Coor- 

 dinaten seines Brennpunktes durch /^, «7^, Ä^, bezeichnen. Die Gleichungen seiner Directrix 

 seien 



cos ctQ cos ,5|j cos 7q 



WO also ao, h^,. c^ die Coordiuaten eines beliebigen, in der Directrix liegenden Punktes sind, 

 und a^, ßg, Yq die 180" nicht übersteigenden Winkel bezeichnen, welche der eine der beiden 

 von dem Punkte («o, b^,, c^) nach entgegengesetzten Seiten hin ausgehenden Theile der Direc- 

 trix mit den positiven Theilen der xVxen der x. y. z einsehliesst. 



Da nun der Kegelschnitt ganz in der durch den Brennpunkt und die Directrix der Lage 

 nach bestimmten Ebene liegt, so müssen wir zuerst die Gleichung dieser Ebene suchen, welche 



30) A,x + Bii + C^ + Do = 



sein mag. Weil in dieser Ebene die Punkte (ß^,. 6^, c„) und (/, g^^ /;„) liegen, so haben wir 

 die Gleichungen: 



3^. j A,% + BJ), + C/-0 + A, = 0, 



U,,/, -r B/j, + CX + A, -= 0: 

 aus denen durch Subtraction die Gleichung 

 32) J„ (/: — a„) 4- B, ig, — b,) + C. (A„ — c„) = 



folgt; und die Gleichung der in Eede stehenden Ebene lässt sich nach 30) und 0I) unter 

 einer der beiden folgenden Formen darstellen: 



33. j A^ {x — «0) + B, {y — i„) + C, {z — c-J = U, 



( -1,. l-^' — f.) + il, {y — g,) -(- C; {z — //j -_^- U. 



') Ei konnte liier niclit unsere Absicht sein, die ganze Theorie der Kegelschnitte aus der in §• 1 gegebenen allgemeinen Definition 

 dieser Curven und die sämmilichen Eigenschaften derselben, dass es z. B. für die Ellipse und die Hyperbel zwei Brennpunkte, 

 zwei Directrixen u. s. w. gibt, zu entwickeln, indem es vielmehr blos darauf ankam, zu denjenigen Gleichungen der Kegel- 

 schnitte im Räume zu gelangen, welche für den vorliegenden vorzugsweise astronomischen Zweck unentbehrlich sind. M. s. mit 

 Mtlirercm Archiv der M atheniatik und Physik. Theil XXXi, Nr. Xlli, S. C7. 



