86 J. A. Grüner t. Directe Bestimmung der Dwclisclmittspmikte der Bahien 



also: 



/a; — u = [x — rto) — \{x — «o) »'OS a„ + iy — b,) cos ßo + (s — c„) cos yJ cos a„. 



43) ly — V = iy — b,) — \(x — a^) cos a^ -\- (y — b,) cos ß^ + (2: — Co) cos y„| cos ß,„ 

 (2! — 10 = {z — Co) — \{x — «o) cos a, + (y — 6„) cos ß^ -f- (.? — c^) cos y^j cos -j",,. 



Bezeichnet nun Pq ^i® Entfernung des Punktes (xyz) von der Directrix, also nach dem 

 Obigen offenbar die Entfernung der beiden Punkte (xyz) und (uvic) von einander, so ist: 



Po' ^{x- uy + (^/ - vf + (s - ^o)^ 

 folglich nach 43) offenbar: 



44) Po' = (^ — «0)' + (3/ — ^0)' 4- (3— Co)' — !(^— «0) cos a„ ^ (?/— ^0) cos {% + (2 — c^) cos 7o|- 

 oder 



45) Po' := {x—%)- sin Ho' + (y—boY sin ßo' -]- (z—Co)- sin 70' — 2 (x— a,) {y — 60) cosKo cos ßo 



— 2 (?/ — 60) {z — Co) cosßo cos Yo 



— 2 (2 — Co) (x — «o) eosYo cos a„, 



oder auch, wie sogleich erhellet, v^'eun man die Quadrate der Sinus auf bekannte Weise mit- 

 telst der Gleichung 



cos «o" + cos ßo^ -|- cos Yo' = 1 

 durch Quadrate der Cosinus ersetzt: 



46) Po' = \(x — »o) cos ßo — (?/ — 60) cos «ol' 



+ {{y — bo) cos Y„ — [z — Co) cos ßo}' 

 + {(z — Co) cos «0 — {x — «o) cos Yo}'- 



Nehmen wir jetzt an, dass (xyz) ein beliebiger Punkt des ganz in der durch den Brenn- 

 punkt und die Directi-ix der Lage nach bestimmten Ebene liegenden Kegelschnittes sei, so 

 müssen die Coordinaten x, y, z der Gleichung 36) oder 37) genügen, und ausserdem muss 

 nach der aus §. 1 bekannten allgemeinen Erklärung der Kegelschnitte, wenn ??o die Charak- 

 teristik unsers Kegelschnittes bezeichnet: 



{x -f,f + (j/ - ^0)' + (^ — KY = < p: 



sein. Daher erhalten wir die beiden, unsern Kegelschnitt vollständig charakterisirenden 

 Gleichungen, wenn wir mit einer der beiden Gleichungen 



\{K — ^o) cos ßo — ig^ — ^0) cos Yol (x — «o) ) 



+ {(/o — «o) cos Yo — {^h — ^o) cos «o! {y — '^o) • = 0, 



+ {{g»— b,) cos a, — (/o — «o) cos ßo} (z — c,) ) 

 47) 



{(''^0 — Co) cos ßo — (^To — b,) cos Yol {x — /o) \ 



-f K/o — «0) cos Yo — iK — Co) cos «oS (y — ^0) = 

 + {(9o — bo) cos oto — i/o — ßo) cos ßo} (z — ho) ) 



eine der drei folgenden Gleichungen verbinden : 



48) (x -f,f + {y- g,f + {z - I>,f 



= ?Zo'-' { {x — a^y- + {y — b,y -+- (2 — Co)' — [{x — ao) cos «„ + (?/ — ^0) cos ßo + (z — cj cos Yo]"'}, 



