88 J. A. Grün er t. Directe Bestimmung der Dui'chscJtnittspunkte der Bahnen 



und der Ausdruck 52) des Parameters geht in den folgenden über: 



56) p, = 2;«o V^(/o — «o)' + (5'o — '^o)' + (^^0 — Co)' — (/, cos «„ + g^ cos |3(, + \, cos Yo)", 



den man natürlich noch auf verschiedene Arten weiter umformen könnte. 



Nimmt man nun noch den Brennpunkt als Anfang der Coordinaten an, so dass also 

 («0, 6o, Co) der Durchschnittsjjunkt des von dem Brennpunkte auf die Directrix gefällten Perpen- 

 dikels mit der Directrix ist, und setzt alsoyo= 0, (7o = Oj K= 0; so geht der Ausdruck 56) 

 in den folgenden über: 



57) pa — 2)i„ V'ßo' + b,' + cv, 

 und die Gleichung 55) lässt sich unter der Form 



58) X' + y' + s' 



= no" \[-^y — 2 (%x + b^ + c,z) + X- + f- + z- — (x cos «„ + i/ cos ^, -}- z cos fM 

 darstellen, oder unter der Form: 



59) ji^o" = (1 — <') i^' + y' + ^) + V (a? cos ao + ?/ cos ßo + '^ cos Yo)' + 2< Ka? + % + ^os), 

 oder auch unter der Form: 



60) '/v = - + r + --T^o- 



•'<-•- + «/- + 2^ — (■« COS «0+2/ cos Po + a cos 'i^f — 2 (oo■^■ + baV + «o^) 



Für die Parabel, wo n^^\ ist, nimmt die Gleichung 59) die folgende sehr einfache 

 Gestalt an: 



61) -i\- = {x cos «0 + ?/ cos ßo + .2 cos Yo)' + 2 («o»; + % + ^oS). 



§• 11- 



Die allgemeinen Gleichungen 47) und 49) kann man noch auf einen anderen bemerkens- 

 werthen Ausdruck bringen. Von dem Brennpunkte (/o, g^^ h^ aus denke man sich nämlich in 

 der Ebene des Kegelschnittes eine Gerade gezogen, welche mit den positiven Theilen der 

 Axen der x^ ?/, z respective die 180" nicht übersteigenden "Winkel Xo, \).qi v^ einschliesst, und 

 lasse dann (ßo, ^o; ^o) den Durchschnittspunkt dieser Geraden mit der Directrix sein. Bezeichnet 

 nun ®o die Entfernung des Punktes («„, 6o> ^o) von dem Brennpunkte (fo, go: ^^o)j so ist: 



62) cio =/o + ©0 cos Xo, bo = go + ®o cos fXo, c^ = li^ + % cos Vo. 



"Wenn wir aber einen der beiden 180" nicht übersteigenden Winkel, welche die in Eede 

 stehende Gerade mit der Directrix einschliesst, durch 0o bezeichnen, so ist offenbar: 



63) JS'o = @o sin 00, @o = jEq cosec 0o; 



folglieh : 



{ag=f^ + -E'o cos Xo cosec 0o, 



64) < ^0 = .'7o + ^0 cos fXo cosec 0o, 



Co = //o + E^ cos Vo cosec 0o. 



