92 J. A. G runer t. Directe Bestimmung der Durclisclinittspunkte der Bahnen 



§. 13. 



Wir betrachten jetzt zT\'ei beliebige Kegelschnitte im Eaume, von denen aber, was wohl 

 zu beachten und im Folgenden stets festzuhalten ist, angenommen wird, dass dieselben nicht 

 beide in einer und derselben Ebene liegen, eine Bedingung, deren Noth wendigkeit, wenn die 

 Bestimmung der Durchschnittspunkte zweier Kegelschnitte im Eaume die Einfachheit, welche 

 wir derselben im Folgenden zu geben beabsichtigen, nicht verlieren soll, schon daraus auf 

 der Stelle ganz von selbst einleuchtet, dass zwei in derselben Ebene liegende Kegelschnitte 

 sich bekanntlich im Allß-emeinen in vier Punkten schneiden , für zwei nicht in derselben 

 Ebene liegende Kegelschnitte es aber offenbar im Allgemeinen nur zwei Durchschnittspunkte 

 geben kann, woher es kommt, dass die Bestimmung der Durchschnittspunkte zweier Kegel- 

 schnitte im ersten Falle noth wendig auf eine Gleichung des vierten Grades, im zweiten Falle 

 dao-eo-en nur auf eine Gleichung des zweiten Grades führen muss, in welchem Umstände 

 hauptsächlich der Grund der Einfachheit der Auflösung unserer Aufgabe liegt, wenn man 

 dieselbe o-leich von vorn hei'ein aus dem Gesichtspunkte auffasst, dass man die beiden Kegel- 

 schnitte der Bedingung unterwirft, dass sie nicht beide in derselben Ebene liegen sollen. 



Nach I, 33) und I, 48) haben die Gleichungen des einen der beiden gegebenen Kegel- 

 schnitte im Allgemeinen die Form 



A, {x — a,) -\- B,{y — h,) + Co (.2 — Co) = 0, 

 9) {x -f,f + {y — g,y + (3 — Kf 



= n,- {{x — a,y -j- (y — h)- -t- (s — fo)' — [(x — a,) cos a, + (y^h) cos ,3„ + (s — c,) cos y,]-}, 

 und eben so haben die Gleichungen des anderen der beiden gegebenen Kegelschnitte die Form : 



A, {X — «,) i- B,(y- b,) + C, (z - c,) = 0, 



10) {X -fs- + (1/ - 9^r + c^ - ^0'^ 



= wf {{x — a,y- + (y — h,y- + (z — cj- — [(.T— «0 cos a, + iy — b,) cos p, + [z — c,) cos y,]=|. 



Indem es sich nun um die Bestimmung der Durchschnittspunkte dieser beiden Kegel- 

 schnitte und die Entwickelung der Bedingungen, unter denen es iiberhauj)t nur Durchschnitts- 

 punkte gibt, handelt, wollen wir zunächst im folgenden Paragraphen die Durchschnittspunkte 

 eines jeden der beiden Kegelschnitte mit der gemeinschaftlichen Durchschnittslinie der beiden 

 Ebenen, in denen sie liegen, zu bestimmen suchen, woran sieh dann die weiteren Betrach- 

 tungen über die Durchschnittspunkte der beiden Kegelschnitte selbst leicht anknüpfen lassen 

 werden. 



§• 14. 

 Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte des ersten der beiden gegebenen 

 Kegelschnitte, welcher durch die Gleichungen 9j charakterisirt wird, mit der gemeinschaft- 

 lichen Durchschnittslinie der beiden Ebenen, in welchen die Kegelschnitte liegen, durch 

 Xq, 3/o) ^of so haben wir nach 9) und 10) zur Bestimmung dieser Coordinaten die drei folgen- 

 den Gleichungen: 



A^ (a;o — a,) + B„ (y„ — b,) + C; (z^ — c,) — , 

 ^ A, {x, - «J + B, {y, — b,) + C, {z, _ c) = , 



(xo —/.)■"' + (^0 — goT + ("^0 — KT 



= «o' {{x^ — aoT + (l/o — ^d' + (so— Co)' — [(a^o — «ü) (-'osao + (i/o— ^u) cos p,, + {z,—c,) cos -(,]'}. 



