96 J. A. Grunert. Directe Bestimmung der Durclischnittspunkte der Bahnen 



Wie aber, wenn die Kegelschnitte wirklicli sieh schneiden, die Coordinaten ihrer Durch- 

 schnittspunkte zu bestimmen sind, erhellet aus dem Obigen gleichfalls ganz von selbst, und 

 auch die dazu erforderlichen Formeln sind im Obigen vollständig enthalten. 



§• 1=J- 



Die im Vorhergehenden gemachte Voraussetzung, unter welcher die obigen Entwicke- 

 lungen nur gültig sind, dass nämlich die Grössen 



A,a, + BA + C,c,, A,a, -f BA + C\c, 



beide verschwinden, lässt sich jederzeit als erfüllt betrachten, wenn die beiden gegebenen 

 Keo-elschnitte einen gemeinschaftlichen Brennpunkt haben, wie dies bei den Bahnen der nach 

 den Gesetzen der allgemeinen Schwere um die Sonne sich bewegenden Weltkörper bekannt- 

 lich immer der Fall ist. 



In diesem Falle können wir nämlich den gemeinschaftlichen Brennpunkt der beiden 

 Kegelschnitte als Anfang der Coordinaten annehmen, wo dann also 



/o = 0, ^r, = 0, K = 0; /, = 0, g, == 0, h, = 



ist, und folglich nach I, 47) offenbar 



fAo — b^ cos Y„ — Co cos ß„ , 



30) IBo = c„ cos «0 — «0 cos 7, , 



(Co ^ «0 cos j3y — ba cos a„ 



und ganz ebenso 



/ ,4] = 6, cos y, — Ci cos ß, , 



31) Ib,=c, cos c(, — «1 cos Yj , 



( d ^ ßi cos j3, — b^ cos a, 



gesetzt werden kann. 



Folglich ist offenbar 



32) Aöo + ^obo + 0,c, = 0, A,a, + Bfi, + C,c, = 0; 



und weil also die zwischen den unbekannten Grössen cTo, 3/0, So i^nd ^1 j yii ^i gegebenen 

 linearen Gleichungen nach dem Obigen 



A^x^ + Bogo + C<yZo = 0, ) ( A^x, + B,g, -H Qz, = 0, 



> und < 

 A,x, + B,y, ^ C,z, = ) i A,x, + B,g, + C,s, = 



sind, so muss man nach 8) jetzt offenbar: 



fA = BA-aB„ 



33) \b = C,A, —A,C,, 



( C = A,B, — B,A, 



setzen. 



Es ist also 



34) A^ + B^ -f C^ r= (A,B, ~ B,A,f + {B,C, — C,B,y + {C,A, - A^Y 

 oder nach einer bekannten Relation: 



35) A'^ + B'^ -^ C^ = {A,' + Bi + Ci) {Ar -f B,' + C,') - (A,A, + B,B, -f C„a)^ 



