98 J- A. Grune?'t. Directe Bestimmung de?- Dwclischnittspunkte der Bahnen 



Auf ähnliche Art ist nach 33): 



A cos «1 + B cos ßi -f C cos Yi 

 = {B,C, — C,B,) cos ex, + (C'oA — A,C\) cos ß, + {ÄoB, — B,A,) cos 7, , 



also: 



A cos «1 + B cos ßi + C cos Yi 

 = (i?i cos Yj — C, cos ßj) ^0 + (Ci cos «i — ^li cos Yi) B^ -\- {A^ cos ,3, — B, cos a,) Co- 



Nun ist aber nach 31) wie man leicht findet: 



i?i cos Yi — C'i cos ßj = («1 cos ai -f- h^ cos ßj + c, cos Yi) cos «i — «, , 



42) Ci cos «1 — ^1 cos Yi = («1 cos Kj + öj cos ßi -|- Ci cos Yi) oos ßi 6j , 



Jli cos ßi — -Bi cos a, = («1 cos a, + 6j cos ß, ^- c, cos Yi) cos Yi — c, : 

 also: 

 ...-. A cos «1 + B cos ßi + C cos Yi 



= («1 cos tti + &i cos ßi + Cj cos Yi) (A cos a, + i?o cos ß, + C^cos yJ — (Ai«i + BJ^i + C'o^i)- 

 Leicht findet man aus 30) und 31) : 



44) A' + -ßo' + C-V' = «o" + V + Co' — («0 cos «0 4- öo cos ß„ + e„ cos Yo)", 



45) A{- + J5i' + C/ = «j- + 6/ + Ci'- — («1 cos «1 + öj cos ß, + c, cos yO', 



^^ AA + -Bo^i + C^C, = («0«, + Ml + Co^i) (cos «0 cos ot, + cos ß, cos ß, -f cos Yo cos Yi) 

 41:)) 



— («0 cos «1 + 60 cos ßi + Co cos Yi) («I cos «0 + &j cos ßo + c'i cos Yo) 



Wenn wir die Punkte (ßo? ^0? "o) und (a,, ö,, c,) mit den Punkten zusammenfallen lassen, in 

 denen die Directrixen der beiden Kegelschnitte von den auf sie von dem gemeinschaftlichen 

 Brennpunkte gefällten Perpendikeln getroffen werden; so ist nach 18) und 25), weil der 

 gemeinschaftliche ßrennjiunkt der Anfang der Coordinaten ist: 



«0 cos «0 + &o COS ßo + Co cos Yo = 0, 



ßj COS «] -1- 61 COS ßi -|- Cj cos Yi = 0; 



und nach I, 57) ist: 

 47) 



V + ^ü' + Co' = (-^) , 



V .«o J 



Also ist nach 19) und 26): 



T ^ •> 



Lo = — -^Po, 



48) il/o = — ?v (Aßo + B^o + Cco), 



A^o = A'^ -^ B= + C^ — n,' {A:' + B- + C'-' — (A cos ä„ + B cos ß« + C cos Yo)'} 



und 



^1 = — T P 



4 



1 7 



49) il/^ = _ n;' (Aa, + Bb, + Cc,), 



N, = A- + B- + C- — 71,' {A- + B' + C- — (A cos a, + B cos ß, + C cos yJ'}- 



