100 J. A. Grunert. Directe Bestimmung der Durchschnittspiinkte der Bahnen 



je nachdem der in Rede stehende Punkt in der von der Sonne nach dem Perihelium gehenden 

 Geraden oder in der direct entgegengesetzten Geraden liegt; also ist: 



A'' = ± 7? cos \[, Y' = ± E cos [j.,/, Z' = ± R cos v^' ; 



wenn man in diesen Formeln die oberen oder unteren Zeichen nimmt, je nachdem der Punkt 

 [X' y Z') in der von der Sonne nach dem Perihelium gehenden Geraden, oder in der direct 

 entgegengesetzten Geraden liegt. Betrachten wir aber R nicht, wie bisher, stets als positiv, 

 sondern als positiv oder als negativ, je nachdem der Punkt [X' Y' Z') in der von der Sonne 

 nach dem Perihelium gehenden Geraden oder in der direct entgegengesetzten Geraden liegt,- 

 so können wir allgemein 



2) X' = E cos Xo', y = i? cos (V, Z' = E cos v,' 



setzen. 



Bezeichnen wir die im Sinne der Längen in der Ekliptik von bis 360° gezählte Ent- 

 fernung des Periheliums vom aufsteigenden Knoten durch P,,, und den 90° nicht übersteigen- 

 den Neigungswinkel der von der Sonne nach dem Perihelium gezogenen Geraden gegen die 

 Ebene der x' y' oder die Ebene der Ekliptik, indem wir diesen Neigungswinkel als positiv 

 oder als negativ betrachten, je nachdem das Perihelium auf der positiven oder negativen 

 Seite der Ebene der x' y' liegt, durch Jq,- so ist offenbar in völliger Allgemeinheit : 



3) cos Xo' = cos P„ cos Jd, cos [jLy' = sin P^ cos Jo; tros v^' = sin /„: 



also nach 2) 



X' = E cos Po cos /„, 



Y ^ E sin P(, cos /„ , 



Z' ^=^ E sin Jq. 



Weil der Punkt (A'' Y' Z' ) in der Ebene der Bahn liegt, so müssen seine Coordinaten 

 die Gleichung 1) befriedigen, und wir erhalten also nach 1) und 4) die Gleichung: 



sin 2o sin P^ cos J^ — cos i^ sin Jj, = , 

 woraus sich 



5) tang J,, = fang /„ sin P^ 



ergibt. Also ist: 



o) cos J' = —-, — --, sin J,," = ——. — — ; 



' " 1 + tang !(,2 sin p^i ■ " i _,_ tang iq^ sin Pq- ' 



und aus der ersten dieser beiden Gleichungen folgt, weil J,^ zwischen — 90° und -j-90° liegt, 

 also cos Jo stets positiv ist, allgemein: 



1 



7) cos Jr. = , , ^'- 

 ^ ° V^l + tang /o'- sin P^a 



Verbindet man nun aber mit dieser Gleichung die Gleichung 5), so erhält man, weil 



sin J^, = cos -/o tang J^ 

 ist, ferner in völliger Allgemeinheit: 



_ tang !„ sin /'„ 



8) Sin J, = 



yi+ tang iQ- sin /■"„- 



